[例证函数的工具性作用] 例证法的作用

时间：2019-02-03 03:23:31　来源：雅意学习网本文已影响人

　　对“3+2”模式的江苏高考有一个精辟的论断：成也数学，败也数学.而对数学来说，也有一个精辟的论断：成也函数，败也函数.这不仅是因为函数是高中数学的基础，更重要的是，函数是一种工具，它能解决其它知识模块的问题.下面的题目就是例证.
　　一、解决多个变量的问题
　　函数的定义中只有两个变量，一个是自变量（通常用x表示），另一个是因变量，就是常说的函数（通常用y或f（x）表示）.包含多个变量的问题，可通过推理运算，减少变量个数，直到只剩两个变量，进而化归为函数问题来解决.
　　例1：已知正实数x，y满足2x（x++）=yz，则（x+）（x+）的最小值为 .
　　题中含有三个变量x，y，z，目标是化为只有两个变量的函数问题.由已知得：2（x++）=yz?圯x++=，代入要求的式子为：x+++yz=+≥2=，故最小值为.
　　二、解决数列问题
　　数列是一种特殊的函数，它的通项公式是以N或其非空子集为定义域的函数，因此用函数思想来解决数列问题就顺理成章了.
　　例2：使不等式++…+＜a-2.求对一切正整数n都成立的最小正整数a的值.
　　左边是一个变量，是以n为自变量的变量，右边是常数，设左边为f（n）=++…+，则f（n）＜a－2011恒成立，等价于f（n）＜a－2011，问题转化为利用单调性求函数f（n）的最大值.因为f（n+1）－f（n）=-＜0，故f（n+1）＜f（n），所以f（n）是递减的，f（n）=f（1）=+＜a-2011?圯a＞2011++=2012，故a=2013.
　　三、解决平面几何问题
　　
　　例3：如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形的中心0的直线MN分别交正方形的边AB、CD于点M、N，则当最小值时，CN= . 从表面看，这个问题与函数无关.但我们从动态的观点来分析，当点N位置一定时，BN、MN也一定.随着点N在边DC上下滑动，BN、MN时刻被唯一确定，这正符合函数的概念.选择线段CN的长为变量x，则有：f（x）=（）=（0≤x≤1），问题转化为：当x为何值时f（x）的值最小？
　　用导数来解：令f′（x）=≥0?圯≤x≤1，故f（x）在［0，］上递减，在［，1］上递增，故当x=时f（x）最小，此时CN=.
　　四、解决解析几何问题
　　例4：设点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，过点F作直线交椭圆于A、B两点，若存在直线使=2，求离心率的取值范围.
　　拿到此题，我们往往会不假思索地设出直线的方程再与椭圆方程联立，可是得到方程组以后，怎样表示AF、BF的长呢？问题就此陷入僵局.略作分析不难发现，若点A横坐标定了，则AF、BF的长也就定了.但问题在于：在A点横坐标已知的情况下，怎样表示B的横坐标呢？什么量具备连接A、B两点横坐标的作用呢？引入一个角为自变量，设∠AFX=θ，由A（c+AF•cosθ，AFsinθ），B（c-BFcosθ，-BFsinθ），0≤θ≤2π.根据椭圆的第二定义得：
　　AF=e （-c-AFcosθ）?圯=-1+，由-1≤cosθ≤ 1知∈［，］，所以≥=2，即e≥，故≤e＜1.
　　五、解决向量问题
　　例5：如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量=λ•+μ•，求λ+μ的最小值.
　　本题点P的位置是解题的关键.与圆（或圆弧）有关的问题常选一个角为自变量.如本题：建立图示坐标系，设正方形边长为2，∠BAP=θ（0≤θ≤），则D（0，2）、E（1，0）、C（2，2）、P（2coθ、2sinθ），则=（1，-2），=（2，2），=（2cosθ，2sinθ），由=λ•+μ•，向量的坐标相等得：λ+2μ•cosθ=2-2λ+2μ•sinθ=2?圯μ=?圯λ+μ=-1+μsinθ+μ=-1+3•，设：f（θ）=，则f′（θ）=≥0恒成立.故f（θ）在［0，］上单调递增，故f（θ）∈［，2］，λ+μ∈［，5］，故：λ+μ的最小值为.
　　可见实际上与向量有关的问题，若感到难以下手，不妨尝试用函数的思想来解，不失为一种好的选择.
　　六、解决三角形问题
　　例6：设△ABC是等腰三角形，BC为底，AB边上的中线CD=3，求△ABC周长的取值范围.
　　读过题目，找不到解决这个问题的切入点，怎么办？可尝试用函数来解.建立平面直角坐标系，用x、y表示周长.建立如图所求的直角坐标系，以点D为坐标原点，线段 DC所在直线为x轴（向右为正），则C（3，0），设A（ x，y），B（-x，-y），由AB=AC得：4x+4y=（x-3）+y，整理得：（x+1）+y=4（y≠0），△ABC的周长设为f（x）=2AB+BC=2+=4+2（-3＜x＜1），由f′（x）≥0得+≥0?圯x≤-.即f（x）在（-3，-）上递增，在（-，1）上递减，故f（x）=f（-）=9，f（1）=8，f（-3）=12.所以8＜f（x）≤9.
　　纵观上面的例题，我们发现用函数思想能解决好多“疑难杂症 ”.用函数思想解题的关键是选择或寻找自变量，自选一个变量（如角度、线段长度之类），也可以建立坐标系，找到关于x，y的等式，再转化为函数求解.
　　其实人的一生也是一个函数，自变量为时间，得失是函数值.用发展的眼光看待时间，这是函数的思想在实际生活中的一个应用.只不过高中函数只有一个自变量，而我们的生活含有多个自变量.只有各个自变量相互协调，共同作用，我们才能获得成功.
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