三重积分柱坐标系【力学问题中坐标系的选取方法】
时间：2019-01-10 03:32:28 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要：本文通过对力学中常用的一些坐标系的叙述，分析并得出了力学问题中巧建坐标系的方法。 关键词：力学问题坐标系选取方法 研究宏观物体的机械运动需要选取一个参考系来确定该物体的空间位置。但仅有参考系还不能定量地描述该运动物体的位置，需要在参考系上选取适当的坐标系来确定物体在空间的相对位置。
要精确地研究运动，就需要对运动有定量的描述，因此为了在数量上表示一个物体相对于参考系的位置，我们以参照物为标准点（称为坐标原点），选定一组有一定次序的数称为坐标，组成一个系统称为坐标系。
在力学中描述质点运动状态的物理量大多数都是矢量，如质点的位移，速度和加速度，以及物体之间的相互作用力，物体的动量，等等。与这些物理量相联系的运动学方程和动力学方程也都是矢量方程。如牛顿运动方程∑=ma，抛射体方程=vt+t。在解决这类问题时常用的方法就是建立合适的坐标系，将矢量方程投影到各坐标轴上得出相应的分量方程，用代数的方法求解。这种方法往往避免了矢量运算，使求解过程显得简单，而且使物理思想明确，物理图像清晰，是解决力学问题的一种重要方法。
力学中常用的是平面直角坐标系，在此介绍巧建直角坐标系的方法。
1.正交分解法中选取坐标轴方向的一般原则
在解决力学问题时，常用正交分解法。在正交分解法中，选取坐标轴方向的一般原则是：尽可能使较多的力落到坐标轴上，这样可以减少力的分解情况，得最简单的力学方程组。
例：倾角为A的斜面上放一个质量为m的物体（如图1所示），物体与斜面间的动摩擦因数为μ，物体在斜面上做加速运动。求物体的加速度。
分析与解：选质量为m的物体为研究对象，物体受重力，支持力和滑动摩擦力，分别建力沿斜面向上为x轴，垂直斜面向上为y轴的直角坐标系和水平向右为x轴竖直向上为y轴的直角坐标系，分解重力，支持力，摩擦力如图1-1、图1-2所示。
由图1-1知由图1-2知
F=f-mgsinA=maF=fcosA-NsinA
F=N-mgcosA=0F=fsinA+NcosA-mg
f=μN
F=
F=μN
由图1-1，我们可以看出只分解了重力，所列方程容易解得加速度。由图1-2，我们可以看出重力和摩擦力都要分解，所列方程比图1-1列的方程繁琐。由此例我们可以看出按照选取坐标轴方向的一般原则做题可以使问题简单、直观，容易理解。
2.三力平衡问题中坐标轴的选取方法
三力平衡是高中物理中常见的力学问题，三力平衡中重力一般为已知力，另外两个力为未知力，当两个未知力互相垂直时，根据上述坐标轴的选取原则即可。但有时两力并不垂直，这种情况下如何选取坐标轴的方向呢？下面我们通过一例来讨论这个问题。
例：如图2所示，将一个带电小球A，用绝缘棒固定于水平地面上某处，在它正上方L处有一悬点O，通过长为L的绝缘细线悬另一个与球A带同性电的小球B，于是悬线与竖直方向成某一夹角θ，先设法增大A球电量，则悬线OB对B球的拉力将（）。
A.变大B.变小C.不变D.不能确定
分析可知当增大球电A量时，A、B间斥力增大则角θ增大，所以只要求出-θ间的函数关系，就可选出正确答案。我们将坐标轴原点建立在B球上，现选三种不同的坐标轴方向来分析本例中与θ的函数关系，然后从选取方向及求解的繁简程序比较中，研究选取合适坐标轴方向的规律。
解法1：选水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，在B球上建立坐标系如图2-1所示，其中为A球对B球的库仑斥力。经分析得B球的平衡方程为Fcos-Tsinθ=0Fsin+Tcosθ=mg。
此方程组的特点是，每个方程中均含有未知力和，这样的方程组虽然可以解除答案，但比较麻烦还需解出，而我们的目的是解出-θ的函数关系，求解过程不用赘述。
解法2：将坐标系的轴建在悬线上，如图2-2所示，在这样的坐标系中经分析B球平衡方程为：
Fcos=mgsinθmgcosθ+Fsin=T
图2-2
此方程的特点是：方程中仅含有未知力，这种方法显然比解法简捷，但仍不能直接解出-θ的函数关系。
解法3：将X轴建在方向上，如图2-3所示。
由图可列方程Tcos=mg
解得：T=mg
此方程可直接求出与θ的函数关系，由上式可见与θ无关，故该题答案为C。
通过以上三种坐标轴方向的选取比较可以看出，要分析-θ关系，以第三种选取坐标轴的方法最优。因此在三力平衡问题中，当两个未知力不垂直时，坐标轴方向的最优选取原则是：将坐标轴建在不需要分析或求解的未知力上，若两个未知力都要求分析或求解，则可暂定某一力为不需要分析或求解的力去处理，求出这一力后，再按同样方法求出另一未知力。
3.在牛顿第二定律应用问题中建立直角坐标系，确定X轴方向的两种方法。
（1）分解力而不分解加速度，此时应规定加速度方向为X轴正方向。
例：质量为m的物体放在倾角为θ的斜面上，物体和斜面间的滑动摩擦因数为μ。如沿水平方向加一个力，使物体沿斜面向上以加速度做匀加速运动，如图3所示，求。
分析与解：选质量为m的物体作研究对象，物体受重力m，外力，支持力和摩擦力。建立坐标时，以加速度方向即沿斜面向上方向为X轴的正方向，分解力，如图3-1所示。
根据图可列方程得
Fcosθ-mgsinθ-f=maN-Fsinθ-mgcosθ=0f=μN
联立方程可解得
由此例可以看出规定加速度为X轴正方向我们只用分解重力m外力两个力，所列方程相对较简单，且这样建立坐标系符合“选取坐标轴方向的一般原则”。
（2）分解加速度而不分解力，此种方法一般是以某个力为轴X正方向时，其他力都落在两个坐标轴而不需要分解。
例：如图4所示，自动扶梯的台阶上放一个质量m为的物体A，当扶梯A沿与水平面成θ角的方向上以加速度a运动时，求台阶对物体A的支持力与摩擦力。
分析与解：物体A受三个力重力m、支持力、摩擦力，受力分析如图4-1所示。根据选取坐标轴方向的一般原则应选择水平方向为X轴的直角坐标系，这样三个力都落在坐标轴上，只需要把加速度分解到轴X、Y轴即可，由图4-1可列方程f=-macosθN-mg=masinθ。
由此两例分析可得出，坐标系的建立可以有多种方法而不影响最后结果，但为了计算方便，应当以尽量简化矢量的分解为原则来建立坐标系。
直角坐标系在直线运动中应用较广泛，但有些问题中，采用直角坐标系，使计算显得比较复杂，如采用其他坐标系就有可能方便得多。常用的其他坐标系有平面极坐标系、自然坐标系、柱面坐标系。自然坐标系是研究曲线运动时常用的坐标系，在研究非自由质点的运动时，如果质点的运动轨迹已知，我们就选用自然坐标系描述质点的运动。
解算质点受有心力作用而运动的问题时选用平面极坐标系，在平面极坐标系中，质点的位置用两个变量（r、θ）来表示，它们当然也是时间t的函数r=r（t），θ=θ（t），为径向单位矢量，为横向单位矢量，⊥。做圆周运动时，质点的径向坐标r为常量；做直线运动时，质点的横向坐标θ为常量。在平面坐标系上加上垂直的Z坐标就形成柱面坐标系，在柱面坐标系中，空间中的任意一点P的位置由r、θ、z来确定，实用中，一般使直角坐标系的z轴与柱面坐标系的z轴重合。在学拉格朗日方程之前，我们用球面坐标表示质点的运动微分方程是很繁琐的，但是学习了拉格朗日方程后我们就可以解除这种束缚，用球面坐标系来计算问题。球面坐标和柱面坐标系适合解算对称和柱对称问题，在力学问题中用球面坐标系和柱面坐标系解题的情况较少，在电磁学中应用较广泛，在这里就不再详细阐述了。球面坐标系和柱面坐标系适用于球对称和柱对称问题，这些坐标系的选取方法本文就不详细介绍。
总之，在不同的问题中选取不同的坐标系，会使复杂的问题简单化。如果坐标系选取合适，不仅可以使物理思想明确，物理图像清晰，而且可以使计算简便，更有利于我们解决物理问题。
参考文献：
［1］程稼夫.力学.北京科学出版社.
［2］周衍柏.理论力学教程.北京高等教育出版社.
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