利用线性规划思想解题|线性规划解题步骤
时间：2020-02-27 07:26:36 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.解决线性规划问题的数学思想，从本质上讲就是数形结合思想.某些数学 问题从表面看与线性规划无关，但是创造性地运用线性规划思想来处理，却能使问题出乎预料地获得解决，而且可提高思维速度，简缩解题长度.下以实例说明之.
一、函数问题转化为线性规划问题
例1 已知函数f(x)=x�3+bx�2+cx+d在区间［-1，2］上是减函数，求b+c的最大值.
解：∵f′(x)=3x�2+2bx+c,∴f′(x)≤0在区间［-1，2］上恒成立，则f′(-1)≤0，
f′(2)≤0，即\=2b-c-3≥0，
4b+c+12≤0.视其为约束条件，则目标函数为p=b+c,如图1，在平面直角坐标系中作出可行域.直线l�1:2b-c-3=0与直线l�2:4b+c+12=0的交点为(-32，-6).据线性规划知识得p�max�=-152.
例2 已知函数f(x)=x�2+ax+1x�2+ax+b(x∈R且x≠0)，若实数a、b使得f(x)=0有实根，则a�2+b�2的最小值为().
�A�.45 �B�.34 �C�.1 �D�.2
解：令t=x+1x，则|t|≥2，f(x)=g(t)=t�2+at+b-2.依题意有g(-2)≤0或g(2)≤0，即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0,
如图2，在平面直角坐标系中作出可行域，则a�2+b�2表示图2中阴影区域内的点到原点的距离.因为原点到直线l�1:-2a+b+2=0与直线l�2:2a+b+2=0的距离均为25.所以a�2+b�2的最小值为45，故选A.
例3 求函数y=3xx+1+x+4x+1的值域.
解：设a=3xx+1,b=x+4x+1，则动点P(a,b)的轨迹方程为a�2+b�2=4(a≥0,b≥0且a≠3).而y=a+b表示斜率为-1，纵截距为y的直线.如图3，A(2，0)(或B(0，2))和切点C(2，2)总在直线l的两侧或其上，所以(2+2-y)(2-y)≤0，解得2≤y≤22，故值域为［2,22］.
二、方程问题转化为线性规划问题
例4 已知a>0，方程ax�2+(b-1)x+1=0的两根为x�1,x�2，满足|x�1|0)，因为方程f(x)=0的两根之积为1a>0，且x�1-x�2=2.
(1)若00，
f(-2)0，即16a-4b+5>0，
4a-2b+312.
解：令3-x=u,x+1=v,则u-v>12，
u�2+v�2=4，
u、v≥0.联立u�2+v�2=4(u、v≥0)与u-v=12，解得u=1+314,v=-1+314.根据
约束条件画出可行域，如图6，则可行域为圆在第一象限内的弧�AB(含点A(2，0)，不含点B(1+314,-1+314)).由1+3140,b>0,c>0，设ba=x,ca=y，则10,y>0直线l�1:x+y=1与直线l�3:y+1=2x的交点为(23，13)，直线l�2:x+y=2与直线l�4:x=y+1的交点为(32，12).如图7，在平面直角坐标系中作出可行域，据线性规划知识得230，解得t∈(-∞,-14)∪(-17,�+∞).
六、概率问题转化为线性规划问题
例9 在长度为a的线段内任取两点将线段分三段，求它们可以构成三角形的概率.
解：设构成三角形的事件为A，长度为a的线段被分成长度为x、y、a-(x+y)的三段，则0a-(x+y)①, y+［a-(x+y)］>x②，由①得a2
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