[用好法向量，巧解立几题]注重转化,巧解向量
时间：2019-02-11 03:16:32 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
很多学生在做立体几何题时，感到无从下手。这种情况也不为怪，因为立体几何题灵活多样，对学生的空间想象能力要求较高。苏教版选修2-1教科书中增加了向量的内容，这无疑对我们解决立体几何题提供很大的帮助，特别是法向量，可以解决大部分立几计算问题。以下举例说明法向量在立几中的一些应用。
一、利用法向量证明线面平行、面面平行
几何原理：①a⊥α，b⊥a，b?埸α?圯b∥α；②a⊥α，b⊥β，a∥b?圯α∥β。
向量原理：①若和直线平行的向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行；②若两个平面的法向量平行，则两平面平行。
例1：已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为2，E、F分别是AA 、CC 的中点，求证：（1）EB ∥平面BDF；（2）平面BDF∥平面B D E。
证明：如图1所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D（0，0，0）、B（2，2，0）、F（0，2，1）、D （0，0，2）、B （2，2，2）、E（2，0，1），
∴=（0，2，1）， =（2，2，0）， ={-2，0，1}，设 =（x，y，1）， =（m，n，1）分别为平面BDF和平面B D E的法向量，
∵ ⊥ ， ⊥
∴ ・ =0， ・ =0，
解之得： =（0.5，-0.5，1）
同理可得： =（0.5，-0.5，1）
（1）∵ ・=0
∴⊥
∴∥平面BDF
（2）∵ ∥
∴平面BDF∥平面B D E
二、利用法向量证明线面垂直、面面垂直
几何原理：①a⊥α，b∥a?圯b⊥α；②a⊥α，b⊥β，a⊥b?圯α⊥β。
向量原理：①若直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直；②若两个平面的法向量垂直，则两平面垂直。
例2： 如图2，PA⊥矩形ABCD所在平面，AB=2AD=2PA，m，n分别是AB，PC的中点，求证：（1）MN⊥平面PDC；（2）平面AMN⊥平面PDC。
证明：如图所示建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=a，则A（0，0，0，）、P（0，0，a）、B（0，2a，0）、C（-a，2，0）、D（-a，0，0）、M（0，a，0）、N（- ，a， ）。
∴ =（- ，0， ）， =（0，2a，0）， =（a，0，a）。
设 =（x，y，1）， =（m，n，1）分别为平面PDC和平面AMN的法向量，
∵ ⊥ ， ⊥
∴ ・ =0， ・ =0，
解之得： =（1，0，-1）。
同理可得： =（1，0，1）。
（1）∵ =-
∴MN⊥平面PDC
（2）∵ ・ =0
∴平面AMN⊥平面PDC
三、利用法向量求线面角、二面角
向量原理：①斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向量所成角（锐角）互余或和斜线与该平面的法向量所成的角（钝角）的补角互余；②二面角的两个面的法向量的夹角或夹角的补角就是这个二面角的平面角。
例3：（2003年高考试题）如图3，直三棱柱ABC―A B C 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA ＝2，D、E分别是CC 与A B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。
（1）求A B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求二面角B―AD―C的大小。（编者自己加的）
解：以C为原点，CA所在直线为x轴建立空间直角坐标系，设AC的长为a，则A(a、0、0)，B(0、a、0)，D(0、0、1),A (a、0，2)，则点G( 、 、 )，E( 、 、1)。由于E在面ABD内的射影为G点，所以GE⊥面ABD，又 =（a，0，-1）， =（-a,a,0）， =（ 、 、 ），由 ・ =0及 ・ =0可得 - =0- + =0，解得a=2。
(1)取 =（ ， ， ）=（ ， ， ）为平面ABD的法向量， =(-2,2，-2)设A B和平面ABD所成的角为θ，则sinθ= = = 。
故所求A B和平面ABD所成的角为arcsin 。
（2）平面ACD的法向量 =（0，1，0），
设 与 的夹角为α，则cosα= = ，
∴二面角B―AD―C的大小为arccos 。
四、利用法向量求点面距离
向量原理：如图4，Q是平面α内任意一点，要求点O到平面α的距离|OP|，若求出平面Q是α的法向量 和 与 所夹的锐角θ，则|OP|=| |cosθ= = 。
例4：（例3原第二问）求点A1到平面AED的距离。
解：在平面AED中 =(-1、1、1)，=(-2、0、1)。
设平面AED的法向量为 =（x，y，z），由 ・ =0 ・ =0可得-x+y+z-2x+z=0?圯y=-xz=2x，所以 =（x，-x，2x），令x=1取平面AED的法向量为 =（1，-1，2），
又A在平面AED中 =(0、0、-2)，记A 到平面AED的距离为d，
则d= = =。
求直线到与它平行平面的距离和求两个平行平面的距离均可转化为点到平面的距离来求。
前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题，实现了几何问题的代数化，将复杂的几何证明转化为代数运算，从而避免了几何作图，减少了逻辑推理，降低了难度。但公式的应用也有一定的局限性，一般地，在能建立空间直角坐标系的情况下，特别是求线面角、二面角、距离问题上，利用法向量较为有效。若不能建立空间直角坐标系，可采用基底表示的方法，此时计算量会增大，但问题还是可以顺利解决的。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
