连续函数的有界性定理【连续函数的有界性】
时间：2019-02-03 03:23:30 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.连续函数又是我们关注的一类函数，函数极限的存在性、可微性，以及有界性等问题都与函数的连续性有着一定的联系.文章讨论连续函数的有界性.
关键词： 函数 连续 有界
闭区间上连续函数的有界性定理，即：
定理：若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，则函数f（x）在闭区间［a，b］上一定有界.
证明：设函数f（x）在闭区间［a，b］上连续.根据连续函数的局部有界性定理，对于任意x∈［a，b］，存在正数M及正数δ，当x∈（x-δ，x+δ）∩［a，b］时，有|f（x）|≤M.作开区间集
J={（x-δ，x+δ）||f（x）|≤M，x∈［a，b］，x∈（x-δ，x+δ）∩［a，b］}，
显然J覆盖了闭区间［a，b］.由有限覆盖定理，存在J中的有限个开区间
（x-δ，x+δ），（x-δ，x+δ），…，（x-δ，x+δ），
它们也覆盖了闭区间［a，b］.取M=max{M，M，…，M}，
于是对于任意的x∈［a，b］，存在i，1≤i≤n，使得x∈（x-δ，x+δ），有：
|f（x）|≤M≤M.即函数f（x）在闭区间［a，b］有界.
但是，如果上述定理的条件中闭区间［a，b］改为开区间（半开半闭区间、无穷区间）时，函数不一定是有界函数，例如：函数f（x）=在开区间（0，1）连续，函数f（x）=在开区间（0，1）是无界函数.又如函数f（x）=x在任何有限区间都是有界函数，但（-∞，+∞）在上是无界函数.文章讨论在一定条件下，可保证连续函数是有界函数.
结论1：若函数f（x）在［a，b）连续，且f（x）存在，则函数f（x）在［a，b）有界.
证明：设f（x）=A，从而
?埚ε=1，?埚δ＞0，?坌x∶x∈（b-δ，b）?奂［a，b），有|f（x）|≤1+|A|.
因为函数f（x）在闭区间［a，b-δ］连续，从而函数f（x）在闭区间［a，b-δ］上有界.
即?埚M＞0，当X∈［a，b-δ］，使得|f（x）|≤M.
取M=max（1+|A|，M），于是?坌x∈［a，b），有|f（x）|≤M，
即函数f（x）在［a，b）有界.
结论1′：若函数f（x）在（a，b］连续，且极限f（x）存在，则函数f（x）在（a，b］有界.
证明：设f（x）=A，与结论1的证明类似.
结论2：若函数f（x）在（a，b）上连续，且极限f（x）与f（x）都存在，则函数f（x）在（a，b）有界.
证明：设f（x）=A，f（x）=B
设F（x）=A （ x=a）f（x） （ a＜x＜b）B （x=b），
由于F（x）=f（x）=A
F（x）=f（x）=B
及函数f（x）在（a，b）上连续，所以函数F（x）在闭区间［a，b］上连续，根据闭区间上连续函数的有界性定理，函数F（x）在闭区间［a，b］上有界，因为在（a，b）内f（x）=F（x），从而函数f（x）在（a，b）有界.
结论3：若函数f（x）在［a，+∞）上连续，且极限f（x）存在，则函数f（x）在［a，+∞）有界.
证明：设f（x）=A，即：
?埚ε=1，?埚B＞0，（B＞a） ?坌x∶x＞B，有|f（x）-A|＜1，
从而当x∈（B，+∞）时，|f（x）|＜1+|A|
由于函数f（x）在［a，+∞）连续，当然在［a，B］?奂［a，+∞）上连续，
故由闭区间上连续函数的有界性，?埚M＞0，?坌x∈［a，B］，
有|f（x）|＜M，取M=max（1+|A|，M），
于是?埚M＞0，?坌x∈［a，+∞），有|f（x）|≤M，
即函数f（x）在［a，+∞）上有界.
结论3′：若函数f（x）在（-∞，b］上连续，且极限f（x）存在，则函数f（x）在（-∞，b］有界.
结论4：若函数f（x）在（-∞，+∞）上连续，且极限f（x）存在，则函数在（-∞，+∞）有界.
证明：设f（x）=A，即?埚ε=1，?埚B＞0， ?坌x∶|x|＞B，有|f（x）-A|＜1，从而|f（x）|＜1+|A|，所以函数f（x）在（-∞，-B）∪（B，+∞）上有界.已知函数在（-∞，+∞）上连续，当然在［-B，B］?奂（-∞，+∞）上连续，由闭区间上连续函数的有界性，?埚M′＞0， ?坌x∈［-B，B］，
|f（x）|≤M′，取M=max（1+|A|，M′）.
于是?埚M＞0， ?坌x∈（-∞，+∞），有|f（x）|≤M，
即函数f（x）在（-∞，+∞）有界.
参考文献：
［1］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，2001.
［2］吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏.数学分析学习指导［M］.北京：高等教育出版社，2004.
［3］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义［M］.北京：高等教育出版社，2003.
［4］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法［M］.北京：高等教育出版社，1993.
［5］桂祖华.微积分新探［M］.上海：上海交通大学出版社，2004.
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