直线与平面相交是画法几何知识链中的关键环节 画法几何直线与平面相交
时间：2019-01-11 03:17:06 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 画法几何对工程类专业的同学来说是一门十分重要的专业基础课程，然而许多同学对画法几何感到束手无策，十分头痛，这种情况势必影响以后的专业课的学习。作者在多年的画几教学实践中不断地摸索总结，认为整个画几的学习中“直线与平面相交求交点”是关键环节。本文在说明原因的基础上，介绍了如何熟练掌握直线与平面相交求交点的作图，希望对广大同学起到指导作用。
关键词： 直线与平面相交 交点 画法几何
学习制图的同学有个说法，称画法几何是“头痛几何”。大一第一学期开这门课，每当课程进行到三分之二时，同学们对这门课有两种截然不同的感觉：一种感觉有趣，喜欢作题、画图，坐下来不知不觉几个小时就过去了，非常投入；而另一部分人感到束手无策，听也听不懂，题不会作，图不会画，一筹莫展……
为什么会出现如此情况呢?我在第一节课绪论中，讲这门课的学习方法时说过这部分的特点是：由简到繁(点、线、面、立体及立体组合)，由易到难(即基本作图到综合解题)，因此每章、每节内容关系非常密切，前节课的内容都是为后节课做准备，课后练习必须按时，按量认真完成。遇到问题要及时解决，为后面内容的学习扫清障碍，否则困难会越来越大。快到期末有同学深有体会地说：“一环扣一环，扣得真紧……”
从投影法基本知识开始，点、线、面、立体及立体组合，大约共有24个知识点(看附件)，构成一个紧密的知识链。我认为其中第17个知识点――直线与平面的相对位置，其中“直线与平面相交求交点”是这个知识链中关键环节。分析如下：
第17个知识点以后的第18，两平面相交求交线的作图，本质上是求作一平面上两直线对另一平面两交点，该两点是两个面的共有点，两点相连即为两平面交线。
第21，直线与立体相交求作贯穿点作图的本质，仍是直线与立体表面求交点的作图问题。
第22、23，平面与立体相交求作截交线，作图的本质还是求作立体上的棱线、素线与截平面的交点，交点相连即为截交线。
第24、25、26，两立体相交求作相贯线，作图的本质仍然是求作一立体上，棱线、素线与另一立体表面或辅助面的交点，这些点是相贯线上的点。
由以上分析可以看出，如果直线与平面相交求作交点作图没掌握，则以上作图无法进行，进而工程形体、房屋建筑、道路、桥梁图示无法进行，也无法读图。所以我们在教和学的过程中必须紧紧抓住这一关键环节。
如何熟练掌握直线与平面相交求交点的作图呢？方法有两种，即利用积聚性作图和辅助平面法作图。要运用这两种方法求交点，必须熟练掌握第17个知识点以前的各知识点及基本作图，否则求交点的作图方法就不能得到很好的应用，也就不能正确作图。
方法一：利用积聚性作图。
例1：求作直线ab与平面△cde的交点k，并判别可见性。
分析：（1）ab是铅垂线，水平投影积聚成点（知识点7），交点k是直线ab与平面cde的共有点，必在ab线上，（依知识点9，直线上点的投影特性）k水平投影必与a，b积聚成一点，则k水平投影确定。
（2）交点正面投影k’确定：k在平面cde上，（依知识点14平面上点和直线的几何条件作图方法），过k在平面cde上取线c1，作出c’1’,c’1’与a’b’交点必为交点k’。
（3）在作图过程中基本作图还离不开知识点1、2、3。
（4）可见性判别涉及知识点4、5、6。
例2：求作直线de与平面△abc的交点k，并判别可见性。
分析：（1）△abc平面是铅垂面，水平投影积聚成直线（依知识点13，各种位置面的投影特性），当面积聚成直线时，面上所有点和线都积聚在这条线上，当然交点k在面上，k在此投影面上的投影也一定积聚在这条线abc上，k也在直线de上，所以de与abc的交点必然是k的水平投影。
（2）交点k的正面投影k’(依知识点3三面系中点的投影规律及知识点9直线上点的投影特性)定是过k作Ox轴垂线与d’e’交点。
（3）可见性判别（依知识点与例1相同），4、5、6内容，可直线判定或取重影点判定。
方法二：辅助平面法。（若直线与平面相交元素都是一般位置，没有积聚性，那就只能用辅助平面法作图，求交点。）
例3：求直线de与平面△abc交点k。
方法：第一步：过de作平面辅助面P（平面P必须是投影面垂直面）。
第二步：求作P与△abc交线。1、2两投影。
第三步：1’2’与d’e’交点k’为交点的正面投影，依k’可作k。
分析：这三步运用了知识点13中垂直面投影特性――积聚性，知识点14平面上点和直线几何条件作图方法，知识点11两直线相交的投影特点，知识点9直线上点的投影特性和作图方法，知识点12平面的迹线表示方法等。
由以上分析可以看出，若前面各知识点不熟练掌握灵活运用，直线与平面相交求交点作图就无法进行。这就是为什么课程进行到三分之二时感到手术无策的原因。
附件：画法几何部分知识点（按序排列）
1.投影法的基本知识；2.平行正投影法；3.点在三投影面体系中的投影规律；4.点的投影与坐标的关系；5.两点的相对位置；6.重影点；7.各种位置线的投影特性；8.直角三角形法求一般位置线段的实长和倾角；9.直线上点的投影特性；10.一边平行于投影面的直角的投影；11.两直线的相对位置(平行、相交、垂直相交、交叉、垂直交叉)；12.平面的表示法：(1)几何元素表示法、(2)迹线表示法；13.各种位置面的投影特性；14.平面上的点和直线的几何条件、作图方法；15.平面上的投影面平行线；16.平面上的最大斜度线；17.直线与平面的相对位置(平行、相交、垂直)；18.两平面的相对位置(平行、相交、垂直)；19.换面法；20.立体的投影；21.直线与立体相交求作贯穿点；22.平面与平面立体相交，求作截交线；23.平面与曲面立体相交，求作截交线；24.两立体相交，求作相贯线。
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