向量位置关系的判断【利用向量判断线\面间的相关位置】
时间：2019-01-07 03:31:55 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 平面与平面、平面与空间直线、两条空间直线之间的相关位置的判断是空间解析几何的一个难点。利用向量和“数”“形”结合的方法，可将线、面间位置关系的判断直观化，将这一难点问题简单化。
关键词： 空间解析几何 向量 平面 空间直线 位置关系
在空间解析几何［１］的教学过程中，平面与平面、平面与空间直线、两条空间直线之间的相关位置的判断是一个难点，学生需要有较为丰富的空间想象力。在教学过程中，在空间直角坐标系下，如果能抓住平面的法向量与直线的方向向量，再结合图形的特点，可以很直观、方便地判断它们位置关系，进而得到它们满足各种位置关系的条件。
1.两平面的相关位置
设两平面的方程分别为
π：Ax+By+Cz+D=0；π：Ax+By+Cz+D=0
平面π和平面π的位置关系有三种，分别为相交、平行、重合，如图1a、图1b、图1c所示。
注意观察平面π的法向量（A，B，C）和π平面的法向量（A，B，C），比较后不难看出：
平行与重合时，法向量与共线；而相交时，与不共线，利用两向量共线的充要条件是它们的对应分量成比例，即可将相交与平行和重合区分开来：
相交时，与不共线，即A∶B∶C≠A∶B∶C
平行或重合时，与共线，即==
进一步判断平行或者重合，显然，当===时，平面π与平面π方程相同，故重合。从而当==≠时，平面π与平面π平行。
2.平面与空间直线的相关位置
设平面的方程为
π：Ax+By+Cz+D=0
直线的方程为
l：==
它们的位置关系有三种，分别为相交、平行、直线在平面上，如图2a、图2b、图2c所示。
结合图形，比较平面π的法向量（A，B，C）和直线l的方向向量（X，Y，Z）后可以看出：
平面与直线平行或重合时，和垂直；而平面与直线相交时，和不垂直，从而即可将相交与平行和重合区分开来：
相交时，和不垂直，即・≠0
平行或重合时，和垂直，即・=0，而重合时直线l上的点M（x，y，z）在平面π上，平行时M不在平面π上。所以得到满足这三种位置关系的条件如下：
直线l与平面π相交：AX+BY+CZ≠0
直线l与平面π平行：AX+BY+CZ=0但Ax+By+Cz+D≠0
直线l与平面π重合：AX+BY+CZ=0且Ax+By+Cz+D=0
3.两空间直线的相关位置
设两空间直线的方程分别为
l：==和l：==
则直线l的方向向量（X，Y，Z），其上一点为M（x，y，z）；直线l的方向向量（X，Y，Z），其上一点为M（x，y，z）；它们的位置关系有两种：异面与共面，如图3a所示。
从图3a中可以看出，直线l和直线MM确定一个平面π，直线l和直线MM确定一个平面π。显然，当直线l和l共面时，平面π和π重合；当直线l和l异面时，平面π和π不重合。因此，直线l和l和异面与共面可判断如下：
当直线l和l异面时，平面π和π不重合，从而向量、、不共面，所以混合积（，，）≠0，即x-x y-y z-zX Y ZX Y Z≠0
当直线l和l共面时，平面π和π重合，从而向量、、共面，所以混合积（，，）=0，即x-x y-yz-zX YZXYZ =0
而直线l和l在共面时又有相交、平行、重合这三种位置关系，如图3b、图3c、图3d所示。
比较图3b、图3c、图3d，可以看出直线l和l在共面时相交、平行、重合这三种位置关系满足的条件：
直线l和l相交时，向量和不共线，即X∶Y∶Z≠X∶Y∶Z
直线l和l平行时，向量和共线，但和不共线，即
X∶Y∶Z=X∶Y∶Z≠（x-x）∶（y-y）∶（z-z）
直线l和l重合时，向量、和都共线，即
X∶Y∶Z=X∶Y∶Z=（x-x）∶（y-y）∶（z-z）
上述平面与平面、平面与空间直线、两条空间直线之间的相关位置的判断是在空间直角坐标系中进行的，讨论过程中所涉及的平面的方程是一般方程，直线的方程是标准方程。如果所给出的平面的方程不是一般方程，则先化为一般方程；空间直线的方程若是一般方程，则先化为标准方程，即可按照上面的方法判断它们的位置关系。
参考文献：
［1］吕林根，许子道.解析几何［M］.北京：高等教育出版社，2005：110-130.
［2］吕林根.解析几何学习辅导书［M］.北京：高等教育出版社，2007：76-77.
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