化斜为直巧解斜三角形|解斜三角形

时间：2019-01-07 03:21:41　来源：雅意学习网本文已影响人

　　在初中数学综合复习中，通过各地近几年的中考试题，综合题中出现了一些关于解斜三角形的数学问题，而解这类问题的关键是转化斜三角形。转化的主要手段是运用“化斜为直”的数学思想方法，即在斜三角形中仔细观察图形的特征，通过作辅助线把斜三角形恰当地构造出直角三角形。涉及到特殊角常常需把特殊角放在直角三角形中，再利用勾股定理和三角函数解直角三角形知识即可解决。斜三角形或不规则四边形可化归为直角三角形，应用解直角三角形的知识来解决。试举下面两道例题:
　　例1：已知：如图1，△ABC中，∠B=90°，∠C=45°，点D是BC的中点，求∠DAC的正弦值。
　　探究过程：通过已知条件和图形可知∠DAC在斜三角形△DAC中，要想求∠DAC的正弦值，须将∠DAC放在直角三角形中，在直角三角形中计算出∠DAC所对的边和斜边或对边和斜边得比值。而直角三角形中的边边关系、角角关系、边角关系是解直角三角形的依据，它们只有在直角三角形中才成立，因此要想用它们来解斜三角形，必须把斜三角形转化为直角三角形，转化的方法一般是作高的辅助线，如图2可以作DE⊥AC于E，才能使特殊的角∠DAC放在直角三角形中，这样构造成了Rt△AEC，令AB＝CB＝a，D为中点，所以DE＝sin∠C，AD＝AB+BD=a，得出AD，进而求出sin∠DAC=。
　　解题过程：设AB＝CB＝a，过D作DE⊥AC于E，垂足为E
　　∵D为CB中点
　　∴DC=
　　∵在Rt△AEC中∠C=45°
　　∴DE＝sin45°＝a
　　又∵在Rt△ABD中，AD＝AB+BD＝a+()=a
　　∴AD=a
　　∴sin∠DAC==
　　例2：如图3，在△ABC中，∠A=30°，E为AC上一点，且AE∶EC=1∶3，EF⊥AB于F，求tan∠CFB。
　　探究过程：通过已知条件和图形可知∠CFB。在斜三角形CFB中，要想求tan∠CFB值，须将∠CFB这个特殊的角放在直角三角形中求出DC与DF，或者在另外的直角三角形找出与∠CFB相等的角，根据题目已知条件找不到与∠CFB相等的角，这就需要构造∠CFB所在的直角三角形，如图4，通过点C作CD⊥AB于D，构造了两个直角三角形Rt△ADC和Rt△CFD。
　　只需求出DC和FD，令AE＝a，EC=3a，AC=4a，DC=ACsin∠A=2a，AD=ACcos∠A=2a，AF=AEcos∠A=a，计算得出DF=AD-AF=a，进而求出tan∠CFB=值。同样方法求出DC，也可以在Rt△ADC中利用勾股定理求得DF，或利用EF∥DC，有=，得出DF，即可求出tan∠CFB=值。
　　解题过程：设AE＝a，则EC=3a，AC=4a，过点C作CD⊥AB于D。
　　∵在Rt△ADC中∠A=30°
　　∴DC=ACsin∠A=4a sin30°=2a，
　　AD=ACcos∠A=4a cos30°=2a
　　又∵在Rt△AEF中∠A=30°，AE＝a
　　∴AF=AEcos∠A=a cos30°=a
　　∴DF=AD-AF=2a-a=a
　　∴tan∠CFB==
　　探究评析：通过以上两例求斜三角形中角的三角函数，发现“化斜为直”是运用解直角三角形的知识解斜三角形的根本方法，其做法是通过作斜三角形的一条高，把斜三角形构造为直角三角形，再根据条件分别在直角三角形中做文章。如果在已知条件中没有给定线段的具体值时往往设某一线段为常数，计算起来比较简单，就会收到化难为易、事半功倍的效果。
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