【一题多解,巧求逆矩阵】矩阵的逆

时间：2020-02-23 07:18:33　来源：雅意学习网本文已影响人

　　对于一个存在逆矩阵的二阶矩阵，如何求出它的逆矩阵?本文就逆矩阵的求解方法作一简述．� 　　例求矩阵A=212�01的逆矩阵� 　　分析一：矩阵A对应一个几何变换，只要找出它的逆变换，就可以根据逆变换写出逆矩阵．�
　　解1：矩阵A对应的几何变换为：将平面上的向量（点）保持纵坐标不变，而将横坐标变为原横坐标的2倍并依纵坐标的12增加，即(x,y)→(2x+12y,y)的几何变换，因此它的逆变换为：将平面上的向量（点）保持纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的12并依纵坐标的14减少，即(x,y)→(12x－14y,y)，∴A��－1�=12－14�01�
　　点评：利用几何变换法求解逆矩阵，首先要找准逆变换，再写逆矩阵，该题中的逆变换易认为是：将平面上的向量（点）保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的12减少，再变为原来的12．导致求解错误，故对几种基本几何变换要熟练掌握，需谨慎对待．�
　　
　　分析二：设矩阵A的逆矩阵为A��－1�=ab�cd，由矩阵乘法并根据可逆矩阵定义得到一个方程组，进而解出a,b,c,d的值．�
　　解2：设矩阵A的逆矩阵为A��－1�=ab�cd，
　　所以AA��－1�=2a+12c2b+12d�cd
　　=10�01�
　　 ∴2a+12c=1�2b+12d=0�c=0�d=1,
　　 ∴a=12�b=－14�c=0�d=1�
　　∴A��－1�=12－14�01�
　　点评：这种利用方程组方法求解逆矩阵，是求解二阶逆矩阵的基本方法，主要理论依据是可逆矩阵的定义．�
　　
　　分析三：利用行列式求解逆矩阵，首先求出|A|的值，然后套用结论即可解决．�
　　解3：|A|=2,∴1|A|=12，
　　∴A��－1�=1|A|
　　1－12�02=
　　12－14�01�
　　点评：一般地：若二阶可逆矩阵A=
　　ab�cd
　　(ad－bc≠0),它的逆矩阵为A��－1�=1|A|d－b�－ca．�
　　
　　分析四：在原二阶矩阵A的边上傍一个二阶单位矩阵对二阶矩阵施行变换的同时，单位矩阵也施行同样变换，当矩阵A化为单位矩阵时，右边单位矩阵转化的结果即为所求矩阵A的逆矩阵．�
　　解：212�01
　　10�01�
　　第二行乘以－12加到第-行
　　20�01
　　1－12�01�
　　第一行乘以12
　　10�01
　　12－14�01，�
　　∴矩阵A的逆矩阵为A��－1�=12－14�01．�
　　点评：这种利用行变换求逆矩阵方法，特别要注意两个矩阵必须同时施行同样变换．�
　　对于上述几种求解逆矩阵的方法，在学习过程中，请同学们注意比较，做到能根据具体问题选择较为合适的解决问题方法．�
　　（作者：车树勤，江苏省连云港市锦屏高级中学)