圆锥曲线焦点三角形性质探究【关于圆锥曲线中存在性问题探究的一些思考】
时间：2019-01-30 03:31:53 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要:新课程越来越注重学生的创新精神与探究能力的培养。通过对圆锥曲线中存在性问题的比较研究，归纳了这类问题常见的探究类型。分析了这类问题的处理方法与技巧，以及相关数学思想、数学方法在此类问题中的体现。
关键词：圆锥曲线;存在;探究
圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是整个高中数学中重要的一部分。在高三复习教学中常常会遇到关于圆锥曲线中存在性的探究问题，这类问题综合性强，对运算和思维的能力要求都很高，学生很难把握。本文笔者通过对一些相关问题的比较研究，总结了这类问题常见的几种探究类型及思考方法。教育实践证明，运用总结的思考方法，可以达到一定的教育效果。
一、探究特殊点的存在性
例1.过点Ｓ（-■，０）的动直线l交椭圆C: x2+■=1于A、B 两点，试问:在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
解法一：若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1。
若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x＋■）２+y2=■。
联立两方程成方程组解得x=1y=0，即两圆相切于点（１，０），因此所求点T如果存在，只能是点（１，０）。
事实上，点T（１，０）就是所求的点。证明如下：
当直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆过点T（１，０）。
当直线l不垂直于x轴时，可设直线l：
由y=ｋ（x＋■），x2+■=1
知（ｋ２＋２）x2＋■x＋■－２＝０
设点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），
则ｘ１＋ｘ２=■ｘ１ｘ２＝■因为■=（ｘ１－１，ｙ１），■=（ｘ２－１，ｙ２），
=■・■=（ｘ１－１）（ｘ２－１）+ｋ２（x1＋■）（x2＋■）=（ｋ２＋1）ｘ１ｘ２＋（■ｋ２－１）（ｘ１＋ｘ２）＋■ｋ２＋１=0
所以ＴＡ⊥ＴＢ，即以ＡＢ为直径的圆恒过点T（１，０）。
所以在坐标平面上存在一个定点T（１，０）满足要求。
解法二：假设存在定点T（u，v）满足条件，
当直线l不垂直于ｘ轴时，同解法一，设点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），
则ｘ１＋ｘ２=■ｘ１ｘ２=■
又因为■＝（ｘ１－ｕ，ｙ１－ｖ），■=（ｘ２－ｕ，ｙ２－ｖ）
因为ｙ１=ｋ（ｘ１＋■），ｙ２＝ｋ（ｘ２＋■），
所以■・■＝…■
因为当且仅当■・■＝０恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T。
由■・■＝０?圳３ｕ２＋２ｕ＋３ｖ２－５=0 －４ｖ＝０６ｕ２＋６ｖ２－６=０?圳ｕ＝１ｖ＝０此时以AB为直径的圆恒过点T（１，０）。
当直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆过点T（１，０）。
所以在坐标平面上存在一个定点T（１，０）满足要求。
评注：解法一先根据特殊性求出定点的坐标，再给予证明，体现了特殊到一般的数学思想。
解法二要点是把问题归结为一个代数式恒成立问题，体现了化归与转化的数学方法。
二、探究动直线特殊位置的存在性
例2．已知椭圆?祝的方程为■＋y2=1，它的上顶点为M，右焦点为F，直线l交椭圆?祝于P、Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
解:假设存在直线l交椭圆?祝于P、Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则设P（ｘ１，ｙ１），Q（ｘ２，ｙ２）因为M（０，１），F（１，０），所以ＫPQ=１，于是，设直线l为ｙ=x＋ｍ，由ｙ=x＋ｍx2＋２y2=２得３x2＋４ｍx＋２ｍ２－２＝０，由于直线PQ与椭圆交于不同两点，所以?驻=16ｍ2-12（２ｍ２－２）>0，得-■0）。过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ。试探究■・■是否为定值。
解:设A（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则由F为抛物线x2＝4y的焦点得F（０，１），又■=?姿■，所以■与■共线，
且（－ｘ１，１－ｙ１）＝?姿（ｘ２，ｙ２－１）
即－ｘ１＝?姿ｘ２１－ｙ１＝?姿（ｙ２－１）
又ｙ１＝■ｘ１２，ｙ２＝■ｘ２２，
解得ｙ１＝?姿，ｙ２＝■，
且有ｘ１ｘ２＝－?姿ｘ２２＝－４?姿ｙ２＝－４，
因为抛物线的方程为x2＝4y，则y′=■x，
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y=■x1x-■x12，y=■x２x-■x２2
所以两条切线的交点M的坐标为（■，■）＝（■，－１）
所以■・■=（■，－２）（ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１）＝■（ｘ２２－ｘ１２）－２（■x２2－■x12）＝０，
所以■・■为定值，且定值为０。
评注：本例可分两步思考：1．从特殊情况入手，求出定值；2．利用设参消参法，直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到结论。
四、探究最值的存在性
例4.（2008湖南高考）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”，已知当x>2时，点P（x，0）存在无穷多条“相关弦”，给定x0>2。
（I）证明：点P（x0，0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
（II）试问：点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由。
解：（I）设AB为点P（x0，0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），则y1２=4x1，y22=4x2，
两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）。因为x1≠x2，所以y1+y2＝0。
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm，ym），则k=■=■=■。
从而AB的垂直平分线l的方程为y-ym=－■（ｘ－ｘｍ）
又点P（x0，0）在直线l上，所以－ym＝－■（ｘ0－ｘｍ）
而ym≠０于是ｘｍ＝ｘ０－２。
故点P（x0，0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦AB所在直线的方程是y-ym＝k（ｘ０－ｘｍ），代入y2＝４ｘ中，
整理得k２x2＋２［k（ym－kxm）－２］ｘ＋（ym－kxm）２＝０ （*）
则ｘ１，ｘ２是方程（*）的两个实根，
且ｘ１ｘ２＝■
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则
l２＝（x1－x2）2+（ｙ1－ｙ2）２＝（１＋k２）（x1－x2）２
＝（１＋k２）［（x1＋x2）2－４x1x2］＝４（１＋k２）（xm２－x1x2）
＝４（１＋■）［xm２－■］
＝（４＋ym２）（４xm－ym２）＝－ym４＋４ym２（xm－１）＋１６xm
＝４（xm＋１）２－［ym２－２（xm－１）］２＝４（ｘ０－１）２－［ym２－２（x０－３）］２。
因为０＜ym２＜４xm＝４（x０－２）＝4x0-8，于是设t=ym２，则t∈（0，4x0-8）。
令ｌ２=g（t）=-［t-2（x0-3）］2+4（x0-1）2.
若x0>3，则2（x0-3）∈（0，4x0-8），
所以当t=2(x0-3)，即ym２=2（x0-3）时，有最大值2（x0-1）.
若23时，点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0-1）；当2 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
