四点共圆的应用【四点共圆的例证与应用】
时间：2020-02-21 11:54:36 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
【摘要】本文主要论述了与四点共圆相关的问题。包括两大部分：第一部分主要论述四点共圆的证明。有四种方法：1.根据圆的定义；2.证第四点在前三点所确定的圆上；3.连四点成两个同底同侧的三角形，证其顶角相等；4.连四点成一个四边形，证其对角互补或一个外角等于它的内对角。第二部分主要论及四点共圆的应用问题。�
【关键词】四点共圆；四边形内接于圆；两条平行弦；对角互补
在同一圆周上的称为共圆点，或称这些点共圆。比如：�
1.在平面内，不在同一直线上的三点必共圆。�
2.在平面内，不在同一直线上的四点，不一定共圆，这就产生了四点共圆问题。�
3.在平面内，四点以上是否共圆的问题，可先确定过其中三点或四点的一个圆，然后逐点研究其它点是否在此圆上，即可归结为四点共圆问题。�
怎样证明四点共圆呢？归纳起来有如下几种方法：�
方法一：根据圆的定义，证四点到某定点的距离相等。�
例1.由一点向一群同心圆引切线，则各切点共圆。�
已知：如图1，PA�1 、 PA�2、PA�3、和B�1 P、 B�2 P、 B�3 P、 分别是同心圆O的切线。��
求证： A�1 、 A�2、 A�3、B�1 、B�2 、 B�3 各点共圆。�
证明：连接OP、OA�1 、OA�2 、OA�3 、 OB�1 、OB�2 、OB�3 ，设OP的中点为，连 O＇A�1、 O＇A�2、O＇A�3 、与 O＇B�1、 O＇B�2、 O＇B�3，则构成6个共斜边OP的直角三角形，其中线 �
O＇A�1= O＇A�2= O＇A�3= O＇B�1= O＇B�2=O＇B�3 �
∴ A�1 、A�2 、 A�3、B�1 、B�2 、 B�3 各点共圆。�
同理，其它同心圆的切点亦于上述各点共圆。�
方法二：证第四点在前三点所确定的圆上。�
例2.如图2，四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在边AB上且与其余三边相切。求证：AD+BC=AB。����
证明：如图2，在AB上截取AE=AD,连接EC、ED、OC、OD，作ΔOCD的外接圆。�
∵ABCD内接于圆�
∴∠A+∠BCD=∠B+∠ADC=180°�
∴∠AED=∠ADE=12 (180°－∠A)= 12∠BCD=∠OCD�
∴点 E也在ΔOCD的外接圆上�
∴∠BEC=∠ODC= 12∠ADC= 12(180°－∠B)=∠BCE�
∴BE=BC ∴AD+BC=AE+EB=AB�
方法三：连四点成两个同底同侧的三角形，证其顶角相等。�
例3.如图3，AB和CD是⊙O内两条平行弦，M是CD的中点，BM的延长线交⊙O于点E。求证：A、E、M、O四点共圆。����
证明：连结MA、OE、OB，在?MOA和?MDB中，�
∠OEB=∠DBE ∠OAB=∠OBA�
∵MO垂直平分AB， ∴MA=MB�
∴∠MAB=∠MBA， ∠MAB－∠AED=∠MBA－∠OBA，�
即∠MAO=∠MBO=∠DEM，则A、E、M、O四点共圆。�
方法四：连四点成一个四边形，证其对角互补或一个外角等于它的内对角。�
例4.如图4，两圆相交于A及B，过A任引一直线交此两圆于C及D，在C、D引各该圆的切线交于E。证明：四点B、C、D、E共圆。����
证明：连结BA、BC、BD，则有∠1=∠3，∠2=∠4�
而∠1+∠2+∠E=180°，∴∠3+∠4+∠E=180°�
即 ∠CBD+∠E=180°，∴B、C、D、E四点共圆。�
由于共圆点建立了几何元素的许多度量关系，所以解答几何命题常用到它，特别是四点共圆的作用尤为重要，它是一种重要的证题方法，某些几何命题的证明，若能巧妙地应用四点共圆，将会收到非常理想的效果，用四点共圆大体可以证明以下几种类型的命题：�
一、证明线段相等�
例5.如图5，已知RtΔABC中，∠C=90°，CD ⊥ AB正方形DNEG、DHFM分别内接于ΔADC和ΔCDB。求证：EC=CF����
证明：；连结DE、DF，�
则∠EDF=45°+45°=90°，�
又∠C=90° ∴D、F、C、E四点共圆。�
∵∠EDC=∠FDC=45°，�
∴EC=CF�
二、证明角相等或不等�
例6.已知PA和PB与圆O相切于点A、B，AC为圆O中经过点A的直径，连PO、BC。求证：∠APB=2∠BAC。����
证明：连结OB，则A、O、B、P四点共圆�
∴∠COB=∠APB，而∠COB和∠CAB同对弧CB �
有∠COB=2∠BAC，∴∠APB=2∠BAC �
例7.如图7，AB、CD是⊙O内交于点 C 的两条弦，CD>AB。求证：∠1
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