惠更斯原理与空间维度
时间：2023-06-19 22:30:02 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
杨师杰
(北京师范大学 物理学系，广东 珠海 519087)
惠更斯原理是指波面上的每一点都可视作子波源,子波的波速与频率等于原来的波速和频率,子波波面的包络构成次级波的波面. 惠更斯原理可以解释光的直线传播、反射、折射等,甚至还可解释晶体的双折射现象.运用惠更斯原理可以证明光密介质比光疏介质中光波的传播速度小,这个结论与牛顿的微粒说结论正好相反,在历史上曾为确立光的波动观念起过积极作用.
菲涅耳在惠更斯原理的基础上，提出子波之间相干叠加,由此发展成为惠更斯-菲涅耳原理. 本文的目标是从数学上探讨这个原理究竟是否成立,以及在何种程度上它们是合理的.通过直接求解不同维度空间的波动方程, 我们揭示惠更斯原理仅适用于一维和三维空间, 对于二维空间则不适用[1]. 我们还讨论了这个结论的可能后果.
一维无限长的波动方程的解称作达朗贝尔公式：
u=f1(x+at)+f2(x-at)
其中f1、f2是与初始状态有关的待定函数.它表明初始的波分解为2个独立的子波,分别沿正负两个方向匀速传播,且波形始终保持不变.其物理意义是任何一点的运动,只由此前t时刻、距离为at的点的运动状态决定, 因此一维空间波的传播符合惠更斯原理.
下面考察机械波在三维无界空间的传播.波动方程为
将方程和初始条件都作三维傅里叶变换,得到
其中k=|k|，解得像函数：
先对第2项作三维傅里叶逆变换, 有[2]
最后一步的第1项由于|r-r′|和at均大于0,所以狄拉克δ函数积分为零.像函数的第一项具有和第2项一样的形式,所以原函数为
该式被称作泊松公式,它表明波的振幅随时间或者传播距离成反比关系,这是符合能量守恒定律的.
三维波动方程解中的Sr表示距离场点r为at的所有点r′构成的球面,如图1(a)所示,处于原点的灰色区域为初始波包,因此公式中的有效积分范围是处于灰色区域内的球面部分.该面积分的物理意义是,r点的运动是此前t时刻距离为at的所有球面点r′运动的叠加,由于积分中出现了狄拉克函数,在r′点的更早或更晚的运动都不会对r点的运动产生任何影响,这恰好就是惠更斯原理的实质.由此得出结论:波在三维空间传播时也符合惠更斯原理.
图1 (a) 三维波传播的球面区域与初始三维波形的交叠;(b) 二维波传播的圆形区域与初始二维波形的交叠
对于二维无界空间中的波动问题：
同样采用傅里叶变换法,有
先对第2项作傅里叶逆变换,并利用贝塞尔函数的积分性质,得[2]
最后一步利用了积分公式[3]：
所以二维波动方程的解为
图2形象地展示了二维和三维空间中波的传播.假设初始时原点处有一个高斯型波包,经过一段时间后,二者表观上相似,但实际上,三维空间的波前内部已经完全恢复到平衡位置,而二维空间各处始终存在偏离平衡位置的位移.
为了更清楚地显示这一特征,我们在图3中描绘了不同时刻一、二、三维波在x轴上的径向分布.图中可见三维和一维空间中波的运动特征一致,波的传播符合惠更斯原理,而二维空间中波的传播更像是扩散过程,因此在某些教科书中用来示例惠更斯原理的水面波[图4(b)],其传播规律恰恰不符合惠更斯原理.
图3 机械波在一维、二维、三维空间的传播(图中显示一维和三维情形,中心部分质点回复到平衡位置,但二维的质点始终偏离平衡位置)
图4 (a) 二维子波的传播；
(b) 实际的水表面波传播图
我们可以在球坐标系中分析三维和一维波传播的相似之处.考虑球对称波的径向部分[2]：
该方程与一维波动方程形式上很相像,可化为
参照一维波动方程的达朗贝尔公式,其解可表示为
两项分别表示球面发散波和会聚波的径向部分,所以满足惠更斯原理.
作为对比,二维波动方程的径向部分有显著的区别，即
它看上去更像是一个非齐次方程,右边与u(r,t)有关的项表明,空间中任何点的运动会一直影响全部波场的运动,这显然不符合惠更斯原理.事实上,凡是偶数维空间的波动方程都会有同样的问题[1],似乎子波源产生的波不只是向前传播,还会向后传播,如图4(a)所示,并且余音袅袅.因此建立在朴素直观上的惠更斯原理,在二维及偶数维空间中并不成立.
当波在一维或三维空间中传播时,信号是清晰可辨和前后互不干扰的.而在二维的世界里说话,耳朵听到的将是前后混杂且持续不断的嗡嗡声,根本不可能听到美妙的歌声.信号在空间中传播的保真性并不像人们想象的那样,是理所当然的.就其内在和谐性而言,三维世界在各种维度空间中是非常独特的,我们很幸运地生活在其中.
本文结论同样适用于电磁波在无界空间的传播.
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