多年冻土场地桩基桥梁地震响应不确定性量化分析

李发达，苏 雷，万华平，凌贤长

(1. 青岛理工大学 土木工程学院，山东 青岛 266520；

2. 浙江大学 建筑工程学院，杭州 310058)

伴随着国家西部大开发战略，冻土区规划和建设的桥梁基础工程被逐渐提上日程；
尤其在冻土区建设的桩基桥梁工程研究越来越多[1-3]。由于我国地处世界两大地震带之中，在大陆板块相互作用的影响下，冻土区的交通基础设施难免受地震影响，对其进行抗震方面的研究显得尤为重要。在冻土区交通基础设施的地震响应特性明显受输入参数的影响，这些输入参数往往存在一定的变异性，分析这些输入参数变异性及其对交通基础设施地震响应特性不确定性具有极其重要的意义。在冻土区交通基础设施的地震响应分析中，定量分析结构体系输入参数对其整个结构地震响应的影响是一个重要的研究方向[4-5]；
定量分析结构体系输入参数变异性对结构地震响应的影响，即进行结构体系地震响应的不确定性量化分析将是另一个重要研究方向，备受研究者的关注。

目前，在交通基础设施的抗震方面许多学者进行了广泛的研究。Soleimani等[6]针对结构不规则和几何不对称桥梁的地震响应，采用人工统计学的方法进行相应敏感性分析，研究相关不确定性参数对概率地震需求模型的影响。万华平等[7]为量化固有频率的不确定性，使用高斯过程替代模型，计算结构形式复杂、长跨度桥梁结构参数的均值和方差，该方法不局限于桥梁结构参数的概率分布情形，可揭示桥梁结构动力响应特性。王德斌等[8]利用有限元软件建立近海桥梁引桥段模型，结合一维波动理论与流体动力学方程模拟海底地震动，然后分析海底地震动对近海桥梁易损性的影响。

考虑到大型的桩承结构的非线性地震响应有限元分析耗时长且费用高等特点。Su等[9]在传统的地震模拟方法的基础上利用高斯过程替代模型进行大型桩承码头结构的地震响应不确定性量化。莫鋈[10]针对我国港口建设中常用的高桩码头在其设计年限内极易遭受地震破坏的问题，通过使用有限元法建立了二维高桩码头体系数值模型，在考虑桩-土相互作用下，对模型进行了反应谱和随机地震响应分析。陈清军等[11]为了探讨桩-土-结构相互作用，创新性的以基岩随机地震作为输入，采用随机振动理论与有限元模拟相结合的方法进行了三维随机地震反应分析。值得注意的是，相关学者在冻土场地桥梁桩基的三维有限元模拟和不确定性量化分析方面研究较少。

一般而言，为了考虑突发事件(如地震、撞击)对结构造成破坏，针对突发事件对结构造成的破坏进行分析显得十分必要。特别是现实中对结构体系进行抗震性能分析和预测尤为重要[12-14]。周爱红[15]针对地震对桩基础的破坏十分普遍的现象，考虑地震时桩-土-结构之间的相互作用，进行随机地震响应和可靠度分析。万华平等[16]针对采用全局敏感性进行桥梁结构动力特性分析时具有计算花费高、耗时长等问题，提出了可以有效、快速的进行桥梁结构动力特性不确定性的敏感性分析方法。

三维有限元数值计算中，高斯过程替代模型具有明显的优势，最突出的地方是对有限元计算中衡量构筑物抗震性能的复杂高维积分问题可以简化为简单的一维积分。通过这种方式可在复杂的非线性数值模型计算中节省计算成本，而且计算相对复杂的非线性数值模型最明显的特征是用时少。本文通过高斯过程替代模型在考虑输入参数变异的影响下对多年冻土场地桩基桥梁地震响应进行不确定性量化分析。

1.1 基于Sobol序列的采样方法

为了采用高斯过程替代模型进行地震响应不确定性量化分析，首先基于试验设计方法构建高斯过程替代模型的训练样本，以此生成训练样本充满参数空间的最大数量采样点。通常，针对三维有限元数值计算中模型的节点多、机时长和模型复杂度高等特点，本文采用高斯过程替代模型进行多年冻土场地桩基桥梁的地震响应不确定性量化分析。一般而言，空间采样方法主要包括：LHS抽样、Hammersley序列、Halton序列和Sobol序列。为了最大限度的满足训练样本能够充满参数空间的程度，这里使用均匀性良好的Sobol序列进行空间采样。

Sobol序列属于低偏差序列，是以一组连续素数为基，最小素数为2的一种空间采样方法。以最小素数2为基在进行计算时可以避免序列生成高维序列，以此提高模型的计算效率和节省计算时间[17]。

基于一组直接数而构造低差异序列的Sobol序列的表达式为

n=(nmnm-1nm-2…n3n2n1)2=
n1+n221+n322+…+
nm-22m-3+nm-12m-2+nm2m-1

(1)

式中：m=[lnn/lnR]，[·]表示取整运算；
nm,…,n1取0或1。

在生成Sobol序列时需要借助不可约的本原多项式

pi(x)=xSi+a1,ixSi-1+a2,ixSi-2+…+aSi-1,ix+1

(2)

式中：pi(x)为第i维的本原多项式；
Si为本原多项式pi(x)的度数；
a1,i,a2,i,a3,i,…,aSi-1,i取整数0或1。

下面部分通过递推关系定义以下正数m1,i,m2,i,…,mSi,i

mk,i=2a1,imk-1,i⊕22a2,imk-2,i⊕…⊕
2Si-1aSi-1,imk-Si+1,i⊕2SiaSi,imk-Si,i⊕mk-Si,i

(3)

式中：⊕为二进制按位异或运算，即1 ⊕ 0=0，0 ⊕ 1=0，0 ⊕ 0=1，1 ⊕ 1=1；
mk,i(k=1,2,…,Si)为小于2i的奇数。

直接数通过式(4)得到

(4)

通过式(4)可得到以最小素数为基的Sobol序列

xn,i=n0v1,i⊕n1v2,i⊕…⊕nmvm+1,i

(5)

对于基于最小素数2为基的Sobol序列，许多学者提出了不同的生成方法[18-20]。其中，Antonov等[21]提出了基于格雷码快速生成Sobol序列的方法；
针对格雷码特有的性质，可由式(6)生成Sobol序列的递归公式

xk+1,i=xk,i⊕vck,i

(6)

式中，ck为整数k二进制最右零位。

1.2 高斯过程替代模型

通常情况下，三维非线性有限元数值模型节点多、计算量大，对计算机的硬件要求较高且计算成本大，这里采用高斯过程替代模型对多年冻土场地桩基桥梁的地震响应进行不确定性量化分析。高斯过程替代模型通过建立体系参数与地震响应之间的关系，将高维积分简化为低维积分，在此基础上进行不确定性量化分析，以此可实现多年冻土场地桩基桥梁的不确定性量化分析。

基于贝叶斯架构的高斯过程替代模型是一种非参数模型，其不同的均值函数和协方差函数可解决不同的研究问题[22]。其中，均值函数M(x)和协方差函数c(x,x′)表征的高斯过程可通过式(7)表示

s(x)～N[M(x),c(x,x′)]

(7)

式中：x={x1,x2,x3,…,xd}为d维参数向量；
s为表征多年冻土场地桩基桥梁的地震响应；
M(·)为均值函数；
c(·,·)为协方差函数。

在高斯过程替代模型中，均值函数一般设为零；
协方差函数可通过式(8)表示

(8)

式中：η2为信号变异性；
lk为特征长度。

替代模型s(x)的构建需要进行多年冻土场地桩基桥梁的非线性有限元地震响应分析，以此得到所需的训练样本集。训练样本集用D=[X,S]表示，包含n对矢量参数样本和标量输出；
其中，X={x1,x2,x3,…,xn}是参数指标，S={s1,s2,…,sn}是多年冻土场地桩基桥梁的地震响应向量。一般而言，使用高斯过程模型中需要预测模型中未知点x*的地震响应s*，即高斯过程替代模型s(x)的特征；
使用高斯过程先验优于模型输出的假设，其表达式为

p(S)=N[0,C(X,X′)]

(9)

(10)

通过贝叶斯理论，s*的后验分布表达式为

(11)

由此可知，式(11)具有高斯形式，通过积分后得到的后验分布是优于预测的输出，因此可通过下面的公式来表示

(12)

均值和方差的公式分别通过式(13)和式(14)可得

μs*=αTC*

(13)

(14)

式中：C*=C(x*,X)；
C=C(X,X)；
α=C-1S。

实际计算中高斯过程替代模型采用零均值函数，所以高斯过程替代模型主要由上面提到的协方差函数来确定；
因为协方差函数是由其对应的超参数Θ决定，所以超参数中的最优解可通过边缘释然函数的最大化来解，其表达式为

(15)

式中，L(Θ)为负对数边缘释然函数。

其中，负对数边缘释然函数的表达式为

(16)

1.3 不确定性量化分析

使用高斯过程替代模型进行多年冻土场地桩基桥梁地震响应的不确定性量化可由概率分布函数来表征，引起地震响应的不确定性可由统计的均值和方差来表示。由于s(x)遵循高斯分布的特点，因此式(13)和式(14)中的均值和方差同样具有此特征[23]；
表达式为

(17)

(18)

式中：E(·)为期望值；
V(·)为变异系数。

针对协方差函数所具有的离散性，式(13)和式(14)可以用如下公式表示

(19)

(20)

将式(19)和式(20)代入式(17)和式(18)中，化简可得

(21)

V[s(x)]=η2+

(22)

因此，利用以上公式可对高斯过程模型中复杂的高维积分问题转化为简单的一维积分问题。

1.4 不确定性量化分析流程

通过高斯过程替代模型计算多年冻土场地桩基桥梁地震响应的统计变量，然后执行不确定性量化。主要思路如下：基于影响多年冻土场地桩基桥梁地震响应的参数，然后确定这些参数所服从分布的特点以此获得计算的输入样本点；
其次，针对非线性时程响应的特点，分析不同样本参数计算所得模型的响应，因此得到样本参数点的输入与输出关系；
最后，利用高斯替代过程模型的优势和特点，对多年冻土场地桩基桥梁的地震响应进行不确定性量化分析，其思路流程如图1所示。

图1 地震响应不确定性量化分析Fig. 1 Uncertainty quantification of seismic response

2.1 数值模拟中p-y曲线的修正

本模拟中的冻土场地桩基桥梁位于多年冻土区，由于冻土区土的特性受温度的影响十分显著。当土冻结后，随着温度的降低，土的刚度发生显著的变化。冻土受温度的作用，土中孔隙充满冰晶，冰晶与土颗粒之间的黏聚力增加。本模型中所采用的p-y模型是考虑无水情形下的软岩和硬黏土的p-y模型，借鉴Ge等[24]所采取的方法对本模型中所考虑多年冻土的p-y模型进行修正。由图2可知，模型中修正的多年冻土p-y曲线一部分为指数方程部分，见式(23)；
另一部分为常数部分，见式(24)。

(23)

式中，y≤8ym。

图2 修正的多年冻土p-y曲线Fig.2 Modified permafrost p-y curve

p=pu

(24)

式中：y>8ym；
pu为多年冻土的极限阻力，pu值可通过式(25)求得；
ym相当于多年冻土1/2的极限抗力时所对应桩的水平位移。

pu=1.5qub

(25)

式中：qu为模拟中多年冻土的偏应力；
b为模拟中桩的直径。

通常，ym的大小取决于模拟中桩的直径和多年冻土的刚度，可通过式(26)求得

ym=kmb

(26)

式中,km为常数，对应于多年冻土最大偏应力时应变的50%。

鉴于此，根据地质勘察报告模拟场地的土层剖面自上而下为粉质黏土(0～4 m)、砂砾石(4～11 m)和风化泥岩(11～51 m)。其中在粉质黏土层埋深2 m、砂砾石层埋深6 m和风化泥岩层埋深28 m位置处绘制多年冻土场地的p-y曲线(如图3所示)。同时，依据多年冻土场地桩基桥梁每月桩的实测温度曲线，埋深2 m，6 m和28 m位置处所对应的温度分别取-5 ℃，-2 ℃和0 ℃(如图4所示)。

2.2 多年冻土场地桩基桥梁数值模拟

多年冻土场地桩基桥梁数值模拟采用开源有限元数值模拟平台OpenSees进行，前后处理采用MSBridge界面化程序。多年冻土场地桩—土相互作用通过p-y曲线模拟，采取弹性梁柱单元模拟桥面板和盖梁，桥台的底部在数值模拟中采用固定连接的方式模拟；
基桩和柱墩在地震响应过程中呈现非线性特征，在多年冻土场地桩基数值模拟中采用非线性纤维截面梁柱单元模拟基桩和柱墩(如图5所示)。

图3 模型中修正的多年冻土p-y曲线Fig.3 Modified permafrost p-y curves in the model

图4 8月—11月份监测地温曲线Fig.4 Monitored ground temperature curve from August to November

图5 多年冻土场地桩基桥梁有限元模型(m)Fig.5 Finite element model of pile-supported bridge structure in the permafrost region (m)

2.3 输入参数与关键地震响应

基于高斯过程替代模型进行多年冻土场地桩基桥梁地震响应不确定性量化分析，对模拟结果进行整理，选取多年冻土场地桩基桥梁的关键部位进行分析。同时，选取有限元模型中排架4进行地震响应分析，选定排架4桥面板的位移和排架4中1号柱墩在埋深1.13 m处的位移、剪力和弯矩作为关键的响应。这里选取10种不确定性参数对多年冻土场地桩基桥梁进行模拟。为了量化输入参数的不同对多年冻土场地桩基桥梁地震响应的影响，基于Sobol序列采样生成了相应的50个工况的输入样本。依据表1中输入参数的均值和分布，对应得到不同变异参数(coefficient of variation,COV)条件(COV=5%和30%)下50个工况的输入参数。

图6为不同变异参数(COV=5%和30%)下采用Sobol序列采样生成50个工况情况的多年冻土场地桩基桥梁地震响应。图6(a)为桥梁结构中排架4桥面板的位移响应时程。从图6(a)可知，变异参数为5%条件下，排架4桥面板的位移在地震作用下随着加速度的不断增大，桥梁结构排架4桥面板的位移变化呈现先增大后减小的趋势；
值得注意的是，变异参数为30%条件下，桥梁结构排架4桥面板的位移变化幅度是变异参数为5%时的大约2倍。

图6(b)为桥梁结构排架4中1号柱墩在埋深1.13 m位置处变异参数为COV=5%和30%条件下的位移响应时程；
从图6(b)可看出，桥梁结构排架4中1号柱墩在埋深1.13 m处位移响应时程的变化与排架4中桥面板的位移变化非常相似；
值得注意的是，图6(a)桥梁结构中排架4桥面板的位移响应时程在不同变异参数下(COV=5%和30%)位移变化幅度大且与此相对应的位移响应时程值高。图6(c)为桥梁结构排架4中1号柱墩在埋深1.13 m位置处变异参数为COV=5%和30%条件下的弯矩变化响应时程。从图6(c)可看出，随着响应时间的增加排架4中1号柱墩的弯矩在变异参数分别为5%和30%情况下弯矩响应幅值先增大后减小。

图6(d)为桥梁结构排架4中1号柱墩在埋深1.13 m位置处变异参数为COV=5%和30%条件下的剪力响应时程。从图6(d)可知，桥梁结构排架4中1号柱墩在变异参数分别为COV=5%和30%条件下，随着响应时间的增加排架4中1号柱墩在埋深1.13 m处的剪力值呈现先增大后逐渐变小并趋于零值，此种现象可进一步表明地震响应的强度会随着地震作用的时间而变化，随着地震作用时间的增加剪力值会逐渐变小。

一般而言，从以上分析图6中桥梁结构排架4中1号柱墩在埋深1.13 m处变异参数为COV=5%和30%条件下的位移、弯矩和剪力时程的变化关系及排架4桥面板的位移响应时程变化关系，可进一步得出桥梁结构中受地震激励影响的时程响应幅值受参数不确定性的影响较大；
当设置桥梁结构参数随着变异参数由5%增加到30%时，桥梁结构的时程响应幅值也会随之而增大；
由此可得出桥梁结构参数不确定性对多年冻土场地桩基桥梁的地震响应影响显著。

表1 模型中考虑的不确定性参数

图6 不同变异参数(COV=5%和30%)下桥梁结构的地震响应Fig.6 Seismic response of bridge structure under different coefficients of variation (COV=5%和30%)

2.4 参数不确定性对体系地震响应的影响

输入参数不确定性对体系地震响应的影响可通过使用统计分布和变异参数进行量化。具体地，采用6种不同的变异参数(5%，10%，15%，20%，25%和30%)来考查参数不确定性对桥梁结构体系地震响应的影响。图7为多年冻土场地桩基桥梁地震响应的统计分布。从图7(a)中可以看出，排架4桥面板的位移随着变异参数的增大其误差条逐渐增大，由此可得随着变异参数的增大对桥梁结构的安全性影响随之增大。图7(b)为不同变异参数下桥梁结构排架4中1号柱墩在埋深1.13 m处位移地震响应的统计分布，从图7(b)可以看出，当结构体系变异参数为5%时，排架4中1号柱墩的位移误差条较小；
随着结构体系变异参数变大(结构体系变异参数由5%增加到30%)，排架4中1号柱墩的位移误差条逐渐增大并在结构体系变异参数为30%时达到最大。

从图7(c)可以看出，随着结构体系变异参数的增大(由5%增加至30%)，排架4中1号柱墩弯矩地震响应的统计分布变化较明显；
其中，特别是结构体系变异参数为30%时的弯矩误差条变化最大。由此可表明：结构体系变异参数为30%时相较于5%时对排架4中1号柱墩承受的弯矩变大，此时影响结构的安全系数增大。由图7(d)可知，随着结构体系变异参数的递增，排架4中1号柱墩的剪力误差条变化的幅度相应的逐渐增大。由此可知，结构体系变异参数为30%其相对应的剪力误差条变化幅度大，此时1号柱墩承受的剪力值相应的增大；
结合图7(c)和图7(d)结构体系变异参数由5%～30%时，排架4中1号柱墩的弯矩和剪力的误差条相应增大。

图7 多年冻土场地桩基桥梁地震响应的统计分布Fig. 7 Statistics distribution of seismic response of pile-supported bridge structure in the permafrost region

在6种不同的变异参数条件下，桥梁结构体系的地震响应均值会处在一个相对稳定的状态，而桥梁结构体系地震响应的标准差会随着桥梁结构体系变异参数的增加而增加，这从侧面反映了输入参数的变异性使地震响应的标准差增大。

通过对图7变化趋势的分析与探讨，为了进一步更好地诠释多年冻土场地桩基桥梁地震响应的变异参数对桥梁结构体系参数的不确定性影响，这里采取桥梁结构地震响应的COV和桥梁结构体系参数的COV之间的关系来阐述(如图8所示)。由图8(a)可知，随着桥梁结构体系的COV增加其所对应的排架4桥面板的位移值随之而增大，结构体系变异参数为30%时排架4桥面板的位移值最大。图8(b)、图8(c)和图8(d)为排架4中1号柱墩在高程-1.13 m处的位移、弯矩和剪力的地震响应COV与结构体系变异参数COV的变化关系；
与此同时，随着结构体系变异参数的增大(由5%增大到30%)，其相对应的地震响应COV值随之增大(即更大响应的变异性)。从图8中可以看出，随着桥梁结构体系COV的增加，其相应的地震响应的COV也是相应的增加。总之，从桥梁结构体系参数的COV与响应量COV之间的变化趋势可进一步表明桥梁结构变异参数的增加直接影响地震响应变异参数的变化。

图8 桥梁结构体系的COV与地震响应COV关系Fig. 8 Relationship between COV and seismic response COV of pile-supported bridge structure

本文利用高斯过程替代模型，考虑到输入参数的变异性，进行了多年冻土场地桩基桥梁地震响应不确定性量化分析。首先，根据影响多年冻土场地桩基桥梁地震响应的主要输入参数，确定这些参数所服从分布的特点；
其次，基于Sobol序列的采样方法，获得计算时所需的输入样本；
第三，针对建立的数值模型进行不同样本参数输入下模型的响应，从而获得样本参数的输入与输出关系；
最后，利用高斯过程替代模型，对多年冻土场地桩基桥梁的地震响应进行不确定性量化分析。主要得到认识如下：

(1) 高斯过程替代模型可有效表征结构体系输入参数与地震响应之间的关系，建立输入与输出之间相互关系，可以提高分析计算的效率，实现多年冻土场地桩基桥梁不确定性量化分析。

(2) 桥梁结构体系输入参数随着COV由5%增加到30%时，桥梁结构的时程响应幅值随之而增加，桥梁结构参数的不确定性对多年冻土场地桩基桥梁的地震响应影响显著。

(3) 随着桥梁结构体系输入参数的COV增加，相应的地震响应COV随之增加，桥梁结构体系COV的增加直接影响地震响应COV的变化。

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