制作实验教具,促进数学教学①
时间：2023-06-07 11:05:24 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
崔 群 翟洪亮
(1.江苏省灌云县图河中学222224；
2.江苏省太湖高级中学 214125)
数学教师运用教具进行实验教学，不但可以丰富课程教学资源，还可以将抽象的数学知识直观化、可视化，加深学生对新知的认识，促进数学教学，充分发挥教具的辅助作用.《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》的重点是落实数学学科核心素养，提出了教学实验这一重要途径，数学教师要深刻认识数学学科核心素养的育人价值，把握数学学科核心素养与知识技能之间的关联，理解数学学科核心素养的内涵和水平划分，将数学学科核心素养的落实变成自己的自觉行动.这要求高中数学教师能自制和运用教具，重视数学实验在数学教学中的作用，现举几例与同行探讨.
案例1矩形运动问题演示器
问题1(2017春·崇安区期中)如图1，矩形ABCD中，AB=8，BC=3，顶点A，B分别在y轴和x轴的正半轴上，当点A在y轴上移动时，点B也随之在x轴上移动，在移动过程中，OD的最大值为( ).
图1
制作方法如图2，截取两根长为35cm、宽4cm、厚2cm的木条，一端斜切45°角，拼成一直角，在木条同面内侧边缘粘上由广告牌塑料边框改制成的跑道，取长为33cm、宽为13cm的矩形免漆板一块，保持边距5mm，在正面用记号笔绘制长为8个单位长度、宽为3个单位长度的矩形ABCD，并在矩形A，B两顶点处背面和顶点D处以及跑道直角顶点O处正面分别垂直植入铁钉各1枚；
取适当长橡皮筋一根，用线将两端对接起来.将矩形板子背面两根钉子分别置于两条跑道内，便可沿既定路径滑动.
图2
实验如图2，将双股橡皮筋两端分别套在点O和点D处的钉子上，然后慢慢滑动矩形A，B两点处的钉子，在滑动中观察橡皮筋的松紧粗细变化，同时感受滑动过程中橡皮筋弹力的大小变化，从而初步猜想OD经过AB中点时可能是最长的.在矩形木板AB边的中点E处植入钉子，将橡皮筋分别置于钉子两侧，再次滑动板子，同时观察两股橡皮筋，发现OE，DE均为定值，根据三角形的任意两边之和大于第三边直观判断，当O，D，E三点共线时，点D到点O的距离最大.
根据勾股定理求出DE的长为5，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长为4，两者相加可得OD的最大值为9．
事实上，利用高中三角函数知识，如图3，过点D作DF⊥y轴于F点，设∠ABO=α，则OA=8sinα，AF=3cosα，FD=3sinα，由勾股定理，得
图3
OD2=(8sinα+3cosα)2+(3sinα)2
=64sin2α+48sinαcosα+9
=24sin 2α-32cos 2α+41
=40sin (2α-φ)+41，
案例2等角演示器
如果一条斜线和平面内一个角的两边成等角，那么这条直线在这个平面内的射影在这个角的角平分线上，在这条斜线和它的射影所确定的平面内的所有直线中，它的射影与这个角两边所在直线所成的角是最小的．利用上述结论可以解决：过空间一点作与两条异面直线成等角的直线条数问题，但还需要等角演示器进行辅助教学，否则部分学生很难想象出图形结构．
制作方法用矩形透明的软塑料板和胶水，拼凑成如图4所示，两两互相垂直的三个平面α，β，γ，它们的交线分别为a，b，c，交线的公共点为O，以及6根30cm长的铅直铁丝作演示直线用．
图4
图5
通过改变角的大小，呈现如下变式：
(1)已知异面直线l1，l2所成的角为50°，P为空间的一个定点，则过定点P且与l1，l2都成24°的角的直线有条．
(2)已知异面直线l1，l2所成的角为50°，P为空间的一个定点，则过定点P且与l1，l2都成25°的角的直线有条．
(3)已知异面直线l1，l2所成的角为50°，P为空间的一个定点，则过定点P且与l1，l2都成26°的角的直线有条．
(4)已知异面直线l1，l2所成的角为50°，P为空间的一个定点，则过定点P且与l1，l2都成65°的角的直线有条．
(5)已知异面直线l1，l2所成的角为50°，P为空间的一个定点，则过定点P且与l1，l2都成80°的角的直线有条．
(6)已知异面直线l1，l2所成的角为50°，P为空间的一个定点，则过定点P且与l1，l2都成90°的角的直线有条．
φ范围平面β内的条数平面γ内的条数总条数φ∈(0,θ2)000φ=θ2101φ∈(θ2,π-θ2)202φ=π-θ2213φ∈(π-θ2,π2)224φ=π211
案例3离心率演示器
制作方法如图6，一木条内有滑槽，滑槽上标有对称的刻度，槽内有两个运动自如的螺钉F1，F2，用一长为2a细绳通过螺母固定在螺钉上，当两个螺钉从滑槽中心O对称向两端远离的过程中，所作椭圆依次由圆到扁发生变化．
图6
案例4球的体积公式
问题4如何合理推导球的体积公式？
若直接给出体积公式，则略显突兀，我们可以自制教具，通过实验启发学生探究进行.
制作方法以蛋糕包装盒(或礼品盒)上的塑料半球形透明外罩为半球容器，设它的半径为R，利用透明软塑料制作如图7所示的高与底面半径均与半球半径R相等的无盖圆锥和无盖圆柱.
图7
制作教具是教学资源建设的重要渠道，也是数学教师的基本功之一．教师应通过制作教具提高自身的业务能力，尽管自制教具简易粗糙，但它可以加强师生交流，激发学生学习的兴趣，充分调动学生学习的积极性，增强学生直观感受，提升学生的动手实践能力，发展学生的创新意识，促进学生对知识的理解，优化课堂教学效果，使学生逐渐养成会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界的习惯，不断提升学生的数学核心素养．
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