PETA-Gmin：求解非线性电路的动态延拓算法
时间：2023-05-30 20:50:18 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
金 洲，刘 毅，裴浩杰，冯 田，段懿洳，周振亚
(1.中国石油大学(北京) 信息科学与工程学院，北京 102249；
(2.北京华大九天软件有限公司，北京 100102)
在晶体管级电路仿真中，直流分析(计算非线性电路的直流工作点)是最重要的任务之一[1-2]。在直流分析中，牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代因其具有二阶收敛性而广泛应用于集成电路仿真程序(Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis，SPICE)[3]及类SPICE仿真器当中。然而牛顿-拉夫森迭代常常会因为初始解和真实解不足够接近而导致收敛失败[3]。为此，一系列用于改善直流收敛性的延拓算法被提出并获得了广泛关注，其中主要包括Gmin步进法[4-5]、伪瞬态法[6-12](Pseudo Transient Analysis，PTA)和同伦法[13-17]等。
随着深亚微米工艺的发展，集成电路的规模与复杂度不断增加，仿真器中现有方法的仿真性能(收敛性、仿真效率)都不能真正做到令人满意[18-19]，因此对直流延拓算法的仿真性能的进一步优化就显得尤为重要。国内外学者在上述延拓算法的基础上进行了许多更加深入的研究。传统的Gmin步进法称作Diagonal Gmin，其仿真效率高，但收敛性较差[14]。文献[5]针对这一问题提出了Dynamic Gmin，并在Ngspice仿真器中进行了实现，通过增加步长速率控制机制和回退机制，从而在一定程度上提高了仿真收敛性，但该方法严重牺牲了效率。在伪瞬态方面，文献[6]提出纯伪瞬态算法，并将其引入高级统计分析程序模拟器中进行直流分析。随后文献[7]从伪元件的角度提出了复合器件伪瞬态算法(CEPTA)。该方法通过使用由伪电容和时变电阻串联以及伪电感和时变电导并联组成的复合伪元件，从而很好地消除了振荡问题。随后文献[8]针对复合器件伪瞬态算法又提出了一种新的在SPICE中的实现方式以及新的伪元器件的嵌入方式，从而进一步提升了复合器件伪瞬态算法的收敛性。除此之外，文献[9]从数值积分的角度提出了一种新的阻尼伪瞬态算法(DPTA)。该方法通过人为的扩大数值积分公式中的阻尼效应，从而很好地解决了振荡问题。随后文献[10]又将一种倾斜算法(Ramping Algorithm)引入到阻尼伪瞬态算法中，在该方法中独立电压源不再接入伪电感，而是通过倾斜函数从零逐渐上升到最终值，进一步提升了收敛性。虽然上述优化后的伪瞬态算法都进一步提升了收敛性，并取得了很好的效果，但伪瞬态法的计算依旧相对耗时，且计算效率高度依赖于参数选择的问题仍旧没有得到解决。和上述两种算法相比，同伦法是一种全局收敛的方法，因此也获得了学者的广泛关注，但是由于同伦法在实现上非常依赖器件模型，且计算量过于庞大，因此在商用仿真器中并没有得到广泛应用[8]。
针对现有直流延拓算法中收敛性和仿真效率不能很好平衡的问题，笔者提出了一种名为伪瞬态(PsEudo Transient Analysis，PETA)-Gmin的混合延拓算法。该方法将伪瞬态的求解过程结合到Gmin步进法的迭代过程中，从而确保节点电压可以逐渐达到稳态，以此来避免Gmin步进法因解曲线不连续而收敛失败的情况发生，同时通过Gmin的快速步进来确保高效的仿真速率。通过在商业仿真器中对该方法进行实现，并对工业界大规模晶体管电路进行仿真，验证了该方法在显著改善Gmin步进法收敛性的同时，也保证了高效的仿真速率。
1.1 前期测试
通过对6个小规模的全氧半场效晶体管(Metal-Oxide-Semiconductor field-effect transistor，MOS)或双极结型晶体管(Bipolar Junction Transistor，BJT)电路进行测试，验证了上文中存在的问题，如表1所示。表1中Diag是SPICE3f5仿真器中的Diagonal Gmin步进法，而Dynamic则是Dynamic Gmin步进法，且gminfactor设置为1.5。伪瞬态为最新的Ramping 伪瞬态算法。而BJT、Mos、Dev分别代表着电路中的所含的双极结型晶体管、金氧半场效晶体管的数量以及总器件数。failed代表着收敛失败，而其他数字代表着收敛成功所使用的总牛顿-拉夫森迭代次数。
通过观察可以发现，Diagonal Gmin凭借着快速步进拥有着最优的仿真速率，但收敛性却是最差的。Dynamic Gmin虽然通过步长速率控制机制和回退机制在一定程度上提高了收敛性，但却大大牺牲了收敛效率，甚至在某些情况下，如hussamp和D1，即使依靠步长回退也无法正常收敛。而PTA伪瞬态在3种方法中收敛性是最好的。
随后为了进一步验证Digaonal Gmin和伪瞬态算法的仿真效率，对87个MOS或BJT电路(包含38个基准电路[1])进行了测试，其中有52个电路在两种算法下均可以成功收敛。而其收敛的加速比(伪瞬态算法所消耗的总牛顿-拉夫森迭代次数/Gmin所消耗的总牛顿-拉夫森迭代次数)如图1所示。
通过观察可以发现，大多数电路在Gmin步进法下拥有更好的仿真效率，其平均(最大)加速比可以达到2.13倍(10.95倍)。对于伪瞬态算法，尽管已经通过各种方法来提高它的仿真速率，但仍只有在非常优秀的参数下，才可以达到和Gmin相似的速率。因此就目前来说，在直流仿真领域，仍未找到一个足够高效且鲁棒的算法。
1.2 结果分析
传统的Diagonal Gmin步进法是在原始电路中插入线性可变电导，从而将原始电路转变为易于求解的新电路，随后对其进行仿真，并将本次收敛的值作为下次求解的初值。虽然快速步进使得该方法具有非常优秀的仿真效率，但是该方法也常常因为解曲线不连续而收敛失败。
解曲线的不连续大致分为5种情况，如图2所示。
(1) 巨大增益：通常由正反馈环路所带来的回路增益所导致的[13]。
(2) 分叉：通常是在电路和初始起点完全对称时所产生的[4]。
(3) 简单不连续：通常情况下由模型等式所引起[4]。
(4) 折叠：通常情况下由电路特性导致的，如在某些Gmin迭代步中含有多个解[13]。
(5) 奇点：当求解电路存在双稳态或多稳态时，可能导致解曲线出现奇点[14]。
当仿真过程中发生上述5种情况之一或其组合时，即使采取非常小的步长，也不能保证在使用上一步的解作为初值的前提下，当前步能够正常收敛。而之所以收敛失败是因为牛顿-拉夫森迭代的局部收敛性，即上一步的收敛解没有落在当前步的收敛域内。
不同于Gmin步进法，在使用伪瞬态算法进行电路仿真时，电路中所接的伪电容会使得节点电压的变化变得相对缓慢且连续，从而有效消除了解曲线不连续所带来的恶劣影响。虽然伪瞬态算法可以解决各种类型的解曲线不连续的问题，但其效率也因为所插入的伪电容而有所下降。此外，伪瞬态算法的仿真效率在很大程度上依赖于参数选择的问题也从未得到过有效解决。
2.1 PETA-Gmin算法
根据上述算法的优势与不足，构造了一个新的延拓算法并命名为PETA-Gmin。该算法对应的方程在电路上的反映为将线性可变电导和伪电容并联插入原始电路中以形成一个新电路。此外，在方程中线性可变电导用G或GR(λ)来表示，伪电容用C和Gc(t)来表示。与此同时，在执行PETA过程时，为了避免电容和电感同时接入电路所带来的振荡问题，将电路中的独立电压源以函数形式从零上升到最终值，因此独立电压源以及插入的器件的位置如图3所示。
该方法从新电路的求解出发，逐渐消除线性可变电导和伪电容对于原电路的影响直至最终消失，从而形成一个连续的求解过程。该方程可表示为
(1)
2.2 Gmin延拓阶段
在仿真开始阶段(Gmin延拓阶段)，将插入的伪电容的值设为0，此时连续的步进主要由显式参数λ主导，以便快速降低嵌入电导的值从而实现最佳速率。此阶段的连续过程可表示为
T(x，λ)=F(x)+(1-λ)Gx=0。
(2)
在该阶段，连续方程的解曲线从λ=0开始追踪，在求解过程中，可采用牛顿-拉夫森迭代对式(2)进行求解，每个λi所对应的牛顿-拉夫森迭代的具体求解过程，即
(3)
此时，如果发生解曲线不连续的情况，如图4所示，则即使δλ足够小，牛顿-拉夫森迭代仍旧不能收敛。解曲线的不连续可能如图2所示，也可能由嵌入的电导所致。
2.3 PETA迭代阶段
(4)
此时，将Gc(t)(伪电容)和GR(λ)(电导)设为Gc(t)=C/h，GR(λ)=(1-λ)G，可以在λ=λi+1和伪时间点t=tn+1处得到以下离散差分方程：
F(xi+1_n+1)+(GR(λi+1)+Gc)xi+1_n+1-Gcxi+1_n=0。
(5)
而对于上式中的每一步，也同样采用牛顿-拉夫森迭代去求解，其求解过程如下：
(6)
其中，i表示解曲线不连续处的Gmin值，j表示牛顿-拉夫森迭代的迭代步。
在PETA过程中，随着Gc的不断减小，将逐渐接近断点处的真实解，即电路可以收敛到前期Gmin部分所不能到达的λi+1处。此后，随着λ的增加，解曲线不连续的情况很可能再次发生，此时PETA部分将再次被激活，从而形成一个动态交替步进过程。
2.4 优化的交替步进策略
上述PETA-Gmin可以有效地解决仿真过程中的解曲线不连续从而不收敛的问题。为了进一步提高仿真效率，还对算法做了进一步优化，优化后的算法流程如图5所示。
在原算法的基础上增加了Gmin回退机制，从而在一定程度上确保了Gmin延拓过程的顺利进行，提高仿真效率(单次Gmin迭代步的所消耗的牛顿-拉夫森迭代次数通常小于PETA迭代)。此外，还限制了Gmin回退的最大次数，当解曲线不连续的情况发生时，多次回退并不能使得当前步成功收敛。为了提高仿真效率，减少不必要的时间浪费，将直接调用PETA来继续求解。其原因在于仿真的根本目的在于成功求得直流工作点，而并非确认解曲线是否连续。
3.1 实验设置
将所提的算法与Gmin步进法和Ramping 伪瞬态算法进行了比较。其中收敛性和仿真效率通过仿真消耗的总的牛顿-拉夫森迭代次数和CPU时间来进行对比。PETA-Gmin算法通过C++语言在商业仿真器中实现，并通过工业界中的大规模晶体管电路对该算法的性能进行了验证。所有测试均在拥有2.6 GHz Intel(R) Xeon(R) CPU和512 GB主内存的Linux工作站执行。
3.2 实验结果
首先，通过一个简单的基准电路MOSRECT对所提算法PETA-Gmin(此处PETA-Gmin并未使用优化后的算法，仅仅是在不连续处激活PETA步)的收敛性进行了验证。该电路共有11个元器件，其中包括4个MOS管。如图6所示，在实验中，该电路在Gmin值为1e-8处可以正常收敛，而在Gmin值为1e-9处收敛失败，此时无论怎样进行步长回退，甚至Gmin值回退到9.999 1e-9(δGmin小于1e-12)，该电路依旧无法收敛。随后采用PETA-Gmin对其进行仿真，该电路成功收敛，共消耗615次牛顿-拉夫森迭代，其中PETA过程共用了56步。其解曲线如图7所示。实验结果表明，所提算法可以显著改善Gmin步进法中的解曲线不连续。
为了进一步验证PETA-Gmin的性能，对14个来自工业界的大规模电路进行了测试，并和Ramping 伪瞬态算法的性能进行了对比，电路的规模如表2所示。表2中BJT、MOS分别代表着电路中所含该类器件的数量，Dev代表着电路中的所有器件的个数。
表2 14个工业界中大规模晶体管电路的规模
这14个电路在Gmin步进法下都无法正常的收敛，但在PETA-Gmin和Ramping 伪瞬态算法下都可以正常收敛。其中PETA-Gmin和Ramping 伪瞬态算法所消耗的总牛顿-拉夫森迭代次数和CPU时间如图8和图9所示。
通过比较可以发现，在牛顿-拉夫森迭代次数方面PETA-Gmin最多可以减少12 601次，平均减小3 870次。其牛顿-拉夫森迭代的加速比最高可达4.89，平均可达2.57。而从CPU时间的层面来看，相对于Ramping 伪瞬态算法，PETA-Gmin最多可以减少7 452.47 s，其CPU时间的加速比最高可达5.59，平均可达2.48。此外，需要注意的是，消耗的CPU时间不仅和消耗的牛顿-拉夫森迭代次数有关，也和电路的规模有关。
总的来说，和Gmin步进法相比，笔者提出的PETA-Gmin算法有效解决了Gmin步进法收敛困难的问题，显著提高了Gmin算法的收敛性；
与此同时，PETA-Gmin算法也具有出色的效率，并且优于目前应用最为广泛的且最新的Ramping 伪瞬态算法。实验结果表明，PETA-Gmin是一个高效且鲁棒的直流混合延拓算法。
笔者提出了一种新的名为PETA-Gmin的延拓算法。该算法既包含了Gmin步进法的高效性，又具备伪瞬态算法的鲁棒性。此外，新提出的算法也能够提升商用仿真器的仿真性能。通过商用仿真器对工业界的大规模电路进行了测试，这些电路在Gmin步进法下无法正常收敛，而PETA-Gmin不仅可以成功计算出电路的直流工作点，其效率也比最新的伪瞬态方法平均提高了2.57倍。今后，希望通过进一步优化PETA的延拓过程，从而使得求解过程变得更加平滑且高效。
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