基于分数阶模型的锂离子电池SOC估计方法及优化
时间：2023-01-16 10:20:04 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
张东青， 王国儒， 王靖乔
(黑龙江科技大学 电气与控制工程学院， 哈尔滨 150022)
随着全球混合能源汽车及其驱动控制技术的革新，锂离子电池以其优良的能量比、高功率因数及长循环使用寿命成为汽车电池的首选动力源。建立电池管理系统(Battery management system，BMS)实时检测和管理电池工作质量，电池荷电状态(State of charge，SOC)和健康状态(State of health，SOH)的预测是BMS的关键问题，直观表征电池当前的可用容量和衰退程度，对实现控制电池均衡管理、高效利用和提升续航能力方面具有重要意义。
估计电池SOC的前提是构建可以准确反映电池特性的等效模型。电化学模型可以精准呈现电池反应机理，但运算极其复杂难以进行实际估计，通常采用等效电路模型。由于电容的存在，分数型二阶模型中能准确反映电池工作特性[1]。
电池具有高度的非线性且实际使用过程中受环境、运行条件、电池老化及电池模型参数拟合误差的影响，SOC估计会存在较大误差。工程运用安时积分法估计SOC，计算累积电量对电池进行SOC估计，但这种开环方法会随时间的延长产生较大误差。Plett[2]首次提出基于卡尔曼滤波(Kalman filtering，KF)算法的闭环SOC估计方法。针对极化效应的影响，Bucy提出扩展卡尔曼滤波(Extended Kalman filtering，EKF)算法估计SOC。万亚坤等[3-5]均运用EKF估计电池SOC，获得较高精度。Rui等[6-7]使用双卡尔曼滤波(Dual extended Kalman filtering，DEKF)进行SOC和SOH协同估计，但缺少历史数据的修正作用，计算过程中协方差矩阵衰退，影响估计精度。Liu[8]提出多新息扩展卡尔曼滤波(Multi-innovation extended Kalman filter，MIEKF)，增加多个新息在时间维度上的计算，改善了迭代过程中协方差退化问题，获得较好估计结果。考虑到EKF算法处理高斯系统的过程误差，学者提出粒子滤波(Particle filtering，PF)算法估计SOC，但由于粒子退化权重降低问题，对其进行算法优化或改进，以获得更高估计精度。
笔者建立分数型二阶电路等效模型，根据电池放电实验数据，运用自适应遗传算法(Adaptive genetic algorithms，AGA)辨识参数，改进多新息扩展卡尔曼粒子滤波(Multi-innovation extended Kalman particle filtering，MIEKPF)算法估计SOC，借助EKF算法估计SOH迭代更新内阻，同步完成SOC估计。
1.1 锂电池模型的建立
Thevenin二阶等效电路模型可以精确表现锂电池状态特性[9]，由于电容的分数特性在微积分频域中分数阶比整数阶精度更高，为了兼顾计算难度，同时模拟出浓度差极化和电化学效应，选用阻容网络、欧姆内阻和电压源组成的二阶分数型等效电路。等效电路模型如图1所示。
根据基尔霍夫定律给出其状态空间方程为
式中：U0——电池端电压；
UOCV——开路电压；
U1、U2——电阻R1、R2两端电压；
R0——电池内阻。
根据Westerlund理论，电容器在实际动态条件下表现分数特性，建立在频域上的电容模型来表示电容的分数特性。C1和C2分数阶电容表示为
式中，α、β——电容阶数，0<α,β<1。
根据Grünwald-Letnikov定义[10]分数阶微分方程为
h——采样间隔时间；
α——方程阶次，0<α<1；
i——运算次数，i=0，1，…；
根据以上理论，对二阶模型阻容网络中的分数阶电容器建立分数阶等效电路模型[11]。重新推导出状态空间方程为
电池荷电状态定义为
式中：ηSOC0——初始SOC；
QN——额定容量；
η——效率参数。
根据二阶分数型状态空间方程及微分方程定义，建立离散化方程为
yk=Ckxk-IkR0+E+vk,
Ck=[-1,-1,0]；
E——单位矩阵；
ωk——系统噪声；
vk——观测噪声；
xk——状态向量，xk=[U1(k),U2(k),ηSOC(k)]T；
1.2 参数辨识
对锂电池进行间歇充放电实验，获得电压滞回特性曲线，电池内部阻容抗特性随状态而变化，根据充放电及静置部分特性曲线进行模型参数辨识。最小二乘法(LS)根据Matlab中lsqcurvefit函数曲线拟合，得到最优的时间系数来辨识电池内部模型参数[12]。LS算法依赖经验且稳健性较差，因此，采用收敛精度更高的AGA算法辨识模型参数，算法流程如图2所示。
具体步骤为：(1)确定初始种群，将个体基因编码并转换为二进制；
(2)通过父母个体杂交即对基因片段进行随机组合产生新个体；
(3)从生成的子代中随机挑选部分个体进行变异，以防止辨识参数寻优过程中取得局部最优解；
(4)对这些处理的子代基因片段进行解码，代入等效模型计算端电压误差值，以端电压误差平方和最小值作为选取最优个体；
(5)判断J(i)是否符合适应性条件为
(9)
式中：M——被测数据组的长度；
Ye(j)——预测输出；
Yr(j)——期望输出。
若符合，将此个体作为辨识参数，若不符合，将解码后的子代择优选择，淘汰与设定目标相差较大的个体，剩余种群进行以上循环操作，直至出现适应性条件的个体或繁衍代数超出设定值。
通过种群中交叉和变异来适应优胜劣汰的法则，优质个体适合生存产生更低的交叉和变异概率，劣质个体提高交叉和变异概率进行繁衍来保留自己的基因，交叉概率和变异概率定义为
式中：K1、K2——初始交叉和变异概率；
J(i)——个体适应度；
Jmax——输出误差最大值；
Jave——输出误差平均值。
2.1 FOMIEKPF的SOC估计
多新息理论(Multi-innovation theory)是运用循环过程中产生的历史误差数据进行迭代计算，改善单一新息后验测量校正的数据丢失的问题，提高对状态变量的校正效果。k时刻误差新息为ek=Vk-yk∣k-1，扩展多新息矩阵为
式中：V——端电压值；
p——新息长度。
多新息数据更新如图3所示。PF算法是在蒙特卡罗概率函数的基础上，通过贝叶斯运算规则对离散系统进行加权和积分。PF算法可以精确跟踪和预测动态参数，解决非线性非高斯复杂系统的滤波问题，若选取粒子数量太多，收敛速度和准确度提高但计算量太大，选取粒子数量太少，波动误差增大准确度低，迭代过程中多数粒子权重减少逐渐消弱，少数粒子权重增大，造成粒子贫化问题。
EKF算法通过递推运算将非线性系统由Taylor级数处理为线性高斯系统进行滤波，实现系统状态的最优估计，但会产生较大的线性化误差。扩展卡尔曼粒子滤波(EKPF)算法将EKF算法引入PF算法作为其建议密度分布函数，均衡粒子震荡误差和收敛速率，对每一个粒子实时更新权重，改善粒子贫化问题。EKPF算法流程如图4所示。
EKPF算法具体步骤为
(1)初始化,由先验概率产生N个粒子；
(2)更新粒子，通过EKF算法引入分数阶更新粒子均值和协方差。
先验估计状态：
输出状态更新：
误差协方差更新方程：
卡尔曼增益为
增益矩阵扩展为
Kp,k=[KkKk-1,…,Kk-p+1]。
利用多新息矩阵Ep,k和增益矩阵Kp,k，列写出状态估计更新方程为
样本均值为
误差协方差状态更新方程为
计算粒子权值为
(3)归一化处理
(4)状态估计
(5)重采样，根据权重计算剩余粒子数：
若Neff≤Ns阈值，进行重采样，获取粒子集：
更新SOC预测值为
(6)循环k→k+1，重复上述步骤。
2.2 EKF的SOH估计
电池SOH是反映不同阶段电池使用状态和老化水平的指标，电池在反复应用中，可用容量逐渐衰退，欧姆内阻增大。不同阶段电池健康状态与荷电状态如图5所示。
由于表征SOH的实际容量变化较难获得，选取欧姆内阻定义βSOH为
式中：Re——终期内阻值；
Rn——初始内阻值。
建立电池内阻估计模型为
R0 k=R0 k-1+rk-1，
式中：R0 k——欧姆内阻；
rk——过程噪声。
初始化内阻和协方差
循环迭代进行内阻、协方差、过程噪声状态更新：
KR0k——卡尔曼增益矩阵；
通过重复上述过程，EKF算法不断迭代内阻估计值进行更新修正，缩小与实际内阻误差，完成对SOH准确估计，为修正SOC估计创造了条件。
2.3 FOMIEKPF与EKF的SOC估计
电池使用过程中最大可用容量减小内阻增大，运用容量估计SOC造成其不准确性，以电池欧姆内阻为桥梁，提出修正估计算法，分别将欧姆内阻和SOC交替作为常量和状态量进行迭代更新计算，实现同步估计，减小估计误差。内阻和容量关系为
(1)
式中：Qn——初始电池的最大容量；
Qe——终止寿命的最大容量；
Qeol——电池终容量，Qeol=0.8Qe。
所提优化算法原理如图6所示。通过建立模型、辨识参数，对系统参数初始化，结合MI、EKF、PF算法估计SOC，EKF算法估计SOH，迭代更新内阻。
由式(1)计算最大可用容量并代入SOC估计算法中，以此循环迭代更新电池参数，完成SOC修正估计。
为检验上述优化估计算法理论推导的准确性和现实性，在室温下对18650锂电池进行脉冲放电测试，运用Matlab对电池模型和脉冲放电数据进行仿真验证。根据理论分析可知，分数型模型能更好反映电池特性，所辨识参数为最优解，LS和AGA算法参数辨识结果如表1所示。
表1 两种算法参数辨识结果
根据模型参数辨识结果，将实验脉冲放电电流数据作为输入，分别采用LS整数模型和AGA分数模型获得输出端电压，与脉冲放电测试过程中端电压实测值进行比较，如图7所示。二者跟踪端电压变化较为理想，但相比整数型的LS算法，分数型的AGA端电压偏差更小，更接近于实际端电压。
为了便于分析实际跟踪效果，与脉冲放电端电压数据比较，误差如图8所示。由图8可以看出，LS最大误差为0.056 V，AGA最大误差为0.032 V。因此，分数型AGA跟踪模型端电压误差更小，即电池参数辨识更准确，更能反映电池实际情况。
对上述误差进行统计分析，得到模型误差值对比，如表2所示。AGA分数型辨识电池参数平均误差ev、最大误差emax、均方根误差eR均小于LS整数型。
表2 模型误差对比
在AGA辨识参数的基础上，以及SOC初始值为0.8的相同条件下，分别应用PF算法、EKPF算法、MIEKPF算法、FOMIEKPF算法和所提算法进行SOC估计。由于单次放电时间短，静置时间长，忽略安时积分法累计误差，将其理论计算值视为真实值，并对结果进行比较，获得SOC估计曲线如图9所示。分析比较，几种算法都能较为准确估计SOC，但所提估计算法更趋近于真实值，精度明显提高。
SOC估计结果与实测值比较得到SOC估计误差。表明二阶分数型模型，多新息理论，EKF算法对PF的改进算法和联合SOH的修正估计均取得良好的优化效果，进一步减小了估计误差。
对上述误差数据进行统计，获得不同算法的误差，结果如表3所示。通过比较，可以看出，所提算法的误差指标均优于其他算法，具有很高估计精度。
表3 不同算法误差统计
(1)根据锂离子电池特性，对阻容网络融入微分理论，建立二阶分数型电路模型。运用AGA算法参数辨识，相比于整数型LS算法，能够更好跟踪端电压的实测值，模型参数具有更高精度。
(2)EKPF算法通过引入EKF算法解决PF算法粒子权重降低的问题，估计SOC的均方根误差为1.33%。
(3)融合多新息理论，将单个新息扩展为能够迭代多个历史数据的多新息矩阵，提高校正准确度，均方根误差减小为1.13%。
(4)针对电池老化引起参数变化的效应，提出分别运用FOMIEKPF算法和EKF算法同步估计SOC和SOH，通过迭代更新电池参数实现对SOC修正估计，结果显示，所提估计算法将均方根误差减小为0.55%，进一步提升了SOC估计精度。
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