基于遗传算法的多自由度波浪能装置浮体形状优化

谭铭，杨宇轩，岑雨昊，司玉林，钱鹏，张大海

浙江大学 海洋学院，浙江 舟山 316021

波浪能的高效利用需要波浪能发电装置在各级能量转换系统上都具有较高的效率。根据刚体在波浪中的振动理论，只有当波浪能发电系统与海浪之间产生共振时，海浪能才能最大程度地转化为电能。然而，由于海浪的不规则性和非线性特性，不能简单地将波浪能发电装置（也称波浪能装置）视作质量弹簧阻尼系统，因此高效的电能转换成为了一个难题。近年来，波浪能装置的优化设计与波浪能控制已成为研究热点。波浪能装置优化是指对其各级能量转换系统的传动结构和元器件参数进行优化设计，例如Penalba 等[1]提出的波浪能装置能量转换方案的设计方法。波浪能控制是指在能量转换系统已确定的情况下，根据实际海况中波浪条件的变化，通过引入先进控制系统，实时调整波浪能装置某一环节的关键参数或者采取主动的驱动或约束动作，来改变波浪能装置的运动响应模式和固有频率，实现共振条件和最优电能转换，例如Wang 等[2]提出的波浪能控制方法。

浮体作为一级能量捕获机构，其效率决定了是否能够高效驱动后端的动力输出（power take off, PTO）系统。对于波浪能装置而言，波浪能转换至浮体机械能的过程涉及了浮体的水动力运动响应，而浮体形状对浮体在波浪激励下的水动力性能和能量转换则有着很大影响。

目前，对于波浪能装置浮体形状的选取和优化一般基于枚举法[3-7]，但此方法很大程度上受人为因素的影响，所得浮体形状并不是严格意义的最优解。近年来，迭代算法在波浪能装置系统参数设计优化方面得到了广泛应用。例如，Babarit等[8]结合梯度法与遗传算法，以单位排水量下的吸收功率最大为目标对SEAREV 波浪能装置的浮体形状开展了多目标优化。McCabe 等[9-10]基于B 样条曲面和频域模型，应用遗传算法计算了在垂荡、纵荡和纵摇方向同时运动的波浪能装置的最优浮体形状。Kurniawan 等[11]研究绕水下固定轴振荡的均匀截面浮体，计算了给定频率范围内由主要参数定义的浮体最优形状。Mohamed 等[12]采用进化类算法，选取切向力系数和透平效率为目标函数，基于FLUENT 计算流体力学软件，对振荡水柱式波浪能装置的透平翼型优化进行了研究。Colby 等[13]采用神经网络函数代替完整水动力模型求解吸收功率，计算波浪能装置的最优压载几何，与无压载情况相比，可将输出功率提升84%。Goggins 等[14]将确定海域的年平均波浪能资源作为输入，对不同形状和半径的浮体的目标函数进行了优化。Esmaeilzadeh 等[15]研究了水下平面压差型波浪能装置，结果表明在不规则波条件下，与同等面积的圆形相比，最优形状浮体在某些工况下的平均转换功率可提升数倍。

上述研究绝大多数基于频域模型进行简化计算，虽然可节省计算成本，但忽视了时域模型的非线性效应对计算精度的影响，进而对形状优化结果的有效性产生影响。此外，优化过程中浮体形状定义方法和算法设置对优化结果的影响规律鲜有深入研究。本文拟研究的多自由度波浪能装置具有更复杂的动力学行为，其浮体的水动力性能对整体装置的能量转换效率有显著影响。为此，本文首先建立该波浪能装置的时域数值模型，采用遗传算法搜寻浮体最优形状，分别将平均发电功率与排水体积和湿表面面积之比作为目标函数，基于B 样条曲面选用2 种形状定义方案进行浮体形状的参数化描述，获得并分析优化结果。在数值模拟基础上，开展缩比实验研究，将优化的形状与半球形和圆柱形2 种基准形状进行对比，研究浮体形状优化设计方法，以提高浮体的能量捕获效率。

目前，波浪能开发领域已基本形成了多种技术共存的格局。按照波浪能装置的能量捕获方式分类，有浮子式、振荡水柱式和越浪式等。浮子式波浪能发电装置作为较早开发的一种技术，具有结构简单、技术发展成熟、较易维护等诸多优势。但是，现有的浮子式波浪能发电装置受限于自身的结构形式，往往设计成仅将浮体在一个运动方向上的机械能转换为电能，例如以垂荡运动为主的装置只通过浮体与参照物的相对垂荡运动来吸收垂荡方向的浮体机械能，而其他方向（纵荡和横荡，纵摇和横摇）的浮体机械运动却受到结构设计约束，导致这一部分浮体机械能无法被吸收转换为电能，大大减少了理论上利用振荡浮子原理可捕获的波浪能总量。

本文研究的对象是多自由度波浪能装置[16]，如图1 所示。在入射波浪的作用下，与浮体连接的机械传动系统沿轴承方向直线运动，以及绕水平面2 个相互正交的轴线转动，类似于陀螺仪的运动原理。其中直线运动转换的是浮体在垂荡运动模态上的机械能，转动转换的是浮体在纵荡、横荡等其他运动模态上的机械能。实际上，该多自由度波浪能装置各方向的机械传动机构均可安装直线或旋转发电机输出电能，因此该装置具有多个PTO 输出轴。本文的研究重点是浮体形状优化，在后续仿真和实验研究中，各自由度的PTO 力均用线性阻尼值代替。

图1 多自由度波浪能装置[16]Fig. 1 The multi-DOFs wave energy converter[16]

多自由度波浪能装置的运动响应包括3 个自由度，如图1 所示，其运动响应位移分别定义为平动PTO 轴的直线位移z，和2 个转动PTO 轴的旋转位移 γ和θ。基于势流理论和牛顿第二定律，对这3 个自由度方向的运动进行动力学分析，可以得到装置的时域运动方程为：

式中：m和ma(∞)分别为装置浮体的质量和无穷大周期下的附加质量矩阵；
K为静水恢复刚度矩阵；
τ为计算辐射力的卷积积分自变量；
R(t)为迟滞函数，表示为

其中，λ(ω)为与频率相关的辐射阻尼系数。

浮体形状优化包括3 个主要步骤：首先，基于B 样条曲面的形状描述方法，采用一系列控制点坐标定义浮体外形曲面形状；
随后，加入遗传算法，将所有控制点坐标作为种群中的个体变量；
最后，将每一代生成的所有浮体形状依次应用到基于势流理论建立的装置时域数值模型中，计算获得每一种浮体形状所对应的目标函数值，通过多次迭代获得最优控制点坐标集合，确定浮体形状的最优结果。

2.1 遗传算法

遗传算法由Holland 于1975 年提出[17]，并由Goldberg 等[18]进一步完善。该算法是一种基于生物遗传学的自适应全局优化搜索算法，使用群体搜索技术，通过对当前群体施加选择、交叉、变异等一系列遗传操作，从而产生新一代的群体，并逐步使群体进化到包含或接近最优解的状态。该算法的优势在于：1）同时使用多个搜索点的信息，可实现并行计算；
2）以决策变量的编码作为运算对象，适用于无数值概念或数学建模较困难的优化问题；
3）其直接以目标函数值作为寻优依据，无需目标函数的导数值，不要求函数在定义域内连续可微。

将选取的浮体轮廓面控制点坐标值作为变量，采用实数编码。由于目标函数的计算量远远超过遗传算法本身的计算量，需要减少对目标函数的调用次数，使用变异率较高而数量较小的种群来增加种群多样性。通常推荐的种群大小是搜索空间维度的1～2 倍，因此在本研究中，将种群大小NP设为20。选择和交叉操作采用君主方案，即在根据目标函数值高低对种群进行排序的基础上，将最优个体与其他偶数位的所有个体进行交叉，交叉率设为0.6，每次交叉产生2 个新个体。在交叉过后，对新产生的种群进行多点变异产生子种群，再计算其目标函数值，然后与父种群合并，并根据目标函数值进行排序，取前NP个个体为新种群，进行下一次遗传操作，最大遗传代数设为50。通常，建议的变异率为种群大小的倒数，但为了增加本算法中种群的多样性，将变异率设为0.3。

迭代算法流程如图2 所示。具体步骤为：

图2 算法流程图Fig. 2 Algorithm flow chart

1） 种群初始化，随机生成NP个个体；

2） 评估个体的目标函数；

3） 确定个体的选择概率，采用随机遍历抽样法确定用于交叉操作的父代个体；

4） 采用中间重组将父代个体进行随机交配生成子代；

5） 变异操作；

6） 采用精英主义策略，保留每一代种群中目标函数值最优的个体，与生成的子代共同构成下一代种群；

7） 判断是否满足收敛条件，若不满足，从步骤2）起循环迭代，直到达到收敛，输出最优解。

在遗传算法中，迭代产生的每一个浮体形状的好坏通过计算比较目标函数来判断，目标函数的选择对于优化结果的影响十分显著。

波浪能发电技术的瓶颈之一是度电成本很高，难以达到商业化发展的成熟度。因此，对波浪能发电装置进行研发优化的目标之一是在保证输出发电功率和发电可靠性的同时，尽量降低发电成本。浮体作为波浪能装置的一级获能机构，浮体质量是其主要成本，因此浮体优化的目标可设定为单位质量下的发电量。浮体成本的评估依据包括浮体尺寸、浮体排水体积/湿表面面积。分别采用排水体积、湿表面面积来表征发电装置浮体的成本，优化目标是提高波浪能装置单位排水体积以及单位湿表面面积的发电功率。在此，设定目标函数f1为波浪能装置的平均发电功率与排水体积之比，目标函数f2为波浪能装置的平均发电功率与湿表面面积之比，即

2.2 时域数值模型

使用AQWA/WEC-Sim 搭建时域数值仿真模型，WEC-Sim 是模拟波浪能装置的开源代码[19]。代码是在Matlab/Simulink 软件中使用多体动力学求解器Simscape Multibody 开发。WEC-Sim 需要的唯一外部输入是来自WAMIT，AQWA，Capytaine，HAMS 等软件的边界元水动力数据。基于WEC-Sim 使用这些数据在时域中模拟实际装置，然后再与控制系统、PTO、其他物体和作用力相互耦合。WEC-Sim 工具箱的代码结构如图3所示。

图3 WEC-Sim 代码结构图[17]Fig. 3 WEC-Sim code structure[17]

本文研究的多自由度波浪能装置的2 个旋转PTO 轴是对称的。在仿真研究中，为简便处理，可以设定波浪的入射角方向与装置的1 个旋转PTO轴的轴线朝向相同，则多自由度波浪能装置在平移PTO 轴和其中1 个旋转PTO 轴上输出电能，据此建立如图4 所示的仿真模型。

图4 多自由度波浪能装置的WEC-Sim 仿真模型Fig. 4 WEC-Sim simulation model of the multi-DOFs wave energy converter

2.3 浮体形状定义

选择恰当的几何参数化描述方法来定义算法搜索空间，对于波浪能发电装置形状优化的效率是极其重要的。本文优化算法是通过在所允许的范围内操纵变化定义外形轮廓来获得各种形状的波浪能装置浮体，这一过程需要选择具有代表性的几何参数来表征形状。B 样条曲面是一种曲面造型参数化设计方法，通过确定控制点集合就能够生成多种样条曲面，通过修改控制点位置便可控制整个曲面的形状，同时曲面具有良好的光滑度。本文基于B 样条曲面采用2 种方法对浮体形状进行几何参数化定义。

B 样条曲线方程可表示为：

基于B 样条曲面，根据控制点空间的不同采用2 种形状定义方案（以下称形状方案），且均采用11 个坐标可变的控制点。其中，形状方案-1 中还有一个坐标恒定不变的控制点P12，用于使控制点连接生成的曲线与坐标轴相交实现闭环。如图5 所示，形状方案-1 中浮体外形曲面的控制点分布用圆柱体空间表示，各控制点坐标在z轴方向等距排列，仅在x轴方向变化，其所有坐标值作为基因组成遗传算法中的基因型，即将控制点P1～P11的x轴坐标值作为遗传算法的变量组，共11 个变量。形状方案-2 中浮体外形曲面的控制点分布用多面体空间表示，各控制点坐标分别在z轴与x轴方向变化，其所有坐标值作为基因组成基因型，即将控制点P1～P11的x轴和z轴坐标值作为遗传算法的变量组，共22 个变量。

图5 形状定义方案：控制点空间和示例曲面Fig. 5 Shape definition scheme: control point space and examples

本文选取皮尔逊−莫斯柯维奇谱（简称P-M 谱）描述的不规则波开展数值模拟，它是由莫斯柯维奇对北大西洋1955－1960 年的海浪观测资料进行谱分析得到，适用于充分成长的海浪。波谱公式为：

式中：fp为谱峰频率，此处fp=0.2 Hz，Hm0为有义波高；
f为波浪频率。第i个波浪频率fi对应的波面高程幅值为：

将不规则波看作由大量不同频率、不同波幅、不同入射方向的规则波线性叠加而成，则波面高程可表示为：

采用仿真波浪工况生成的波谱及波面高程时历曲线如图6 所示。

图6 仿真波浪工况Fig. 6 Simulated wave conditions

3.1 形状方案对优化结果的影响分析

在设置目标函数f1（单位排水体积的平均发电功率）的优化仿真算例中，对比分析应用2 种形状方案的迭代收敛情况和优化结果。图7 所示为2 种方案各次迭代的最优目标函数值的变化趋势。由图可见，2 种方案下的目标函数值进化曲线在数代内均保持不变，其间偶尔会出现较大的跳跃，达到一个更高的目标函数值。之所以会出现目标函数值保持不变的现象，是由于算法采用了君主方案，从父代中保留了最优解，同时在交叉和变异过程中并没有得到更优解。而曲线中目标函数值出现跳跃的现象则是因随机的基因变异或交叉导致更优解的出现所致。可见，2 种方案下的目标函数值在有限迭代次数下的收敛效果均较好。

图7 目标函数值进化曲线Fig. 7 Evolution curves of objective function value

另外，在迭代50 次后，形状方案-1 与形状方案-2 的最优目标函数值分别为108.37，112.58，由此得到2 种方案最优浮体形状的平均发电功率分别为14 725.12 和16 453.69 W。选取相同体积、吃水与高度的圆柱形浮体作为基准形状，计算获得其目标函数值，并与优化形状的目标函数值进行对比，如表1 所示。

表1 基准形状与优化形状性能对比Table 1 Comparison of the performance between benchmark shape and optimal shape

由表1 可知，形状方案-1 与形状方案-2 的优化形状相比基准形状在能量捕获特性上有了显著提高，平均发电功率可提高30%以上。同时，在目标函数值、平均发电功率及增幅方面，后者相比前者都较优，说明后者在以考虑体积为浮体成本的前提下能量捕获特性优于前者。

3.2 目标函数对优化结果的影响分析

应用2 种形状方案，分别以目标函数f1(单位排水体积的平均发电功率)和目标函数f2（单位湿表面面积的平均发电功率）开展优化仿真，得到的优化形状分别如图8 和图9 所示。

图8 目标函数f1 下的优化形状Fig. 8 Optimal shape under objective function 1

图9 目标函数f2 下的优化形状Fig. 9 Optimal shape under objective function 2

由图8 可见，通过形状方案-1 优化得到的浮体形状趋向于渐变的规则几何形状，浮体宽度在静水面附近达到控制点坐标优化约束范围的最大宽度，从静水面开始随吃水的增大而减小，一段距离后形状收敛为与圆柱体相似，再往下时浮体宽度基本保持不变。分析这一段与圆柱体相似的形状曲线几何控制点的坐标结果可知，控制点坐标均收敛到坐标约束范围的下限，即最小值附近。这样的形状呈现的规律为：在尽可能获得更大的水线面面积的同时，浮体的排水体积尽可能趋小。通过形状方案-2 得到的结果则呈现了“倒驼峰”几何形状特征，几何体两侧向后倾斜形成侧翼，首部较为突出。

由图9 可见，通过形状方案-1 得到的优化形状同样较为规则，但与目标函数f1的结果不同的是，浮体宽度的变化随吃水深度的增大逐步减小，且变化较平缓。另外，可以发现在目标函数f2下采用2 种形状方案优化获得的浮体外形曲面均较平滑，截面面积自上而下逐渐减小，呈现出“倒金字塔”的几何形状特征。

将相同条件下的圆柱形和半球形作为基准形状，计算其目标函数值，对比优化形状。为保证在同一尺寸规模下对比不同形状的性能，在目标函数f1下，基准形状与优化形状具有相同的排水体积和吃水深度；
而对于目标函数f2，除吃水深度相同外，基准形状与优化形状的湿表面面积也一样。表2 所示为得到的各形状目标函数值。由表2 可以发现，无论采用形状方案-1 还是形状方案-2，得到的优化形状的目标函数值均明显优于基准形状，其中，采用形状方案-2 得到的结果均远远大于圆柱形的目标函数值，充分证明了这种形状定义方案的有效性。

表2 基准形状与最优形状对比Table 2 Comparison between benchmark shape and optimal shape

综上所述，可以发现：无论是形状方案-1 还是形状方案-2，优化形状都呈现出上宽下窄的“倒金字塔”的几何形状特征，水线面以下体积的占比较大；
形状方案-1 的结果较为规则，易于制造，成本较低，形状方案-2 的结果则具有更好的能量捕获性能。另一方面，不同目标函数下2 种方案的优化形状存在差异，说明浮体的优化形状会随着形状方案和目标函数变化导致算法中的基因型复杂程度或搜索空间维度的不同而变化。

为验证本文提出的多自由度波浪能装置形状优化方法的有效性，在浙江大学海洋学院小型波浪水槽中开展了缩比例实验研究。实验布置方案如图10 所示。波浪水槽长25 m，水槽宽0.7 m，最大深度0.7 m，最大实验允许水深0.5 m。在满足造波质量的情况下，水槽造波波浪周期范围为0.9～4.0 s，波高范围为0.02～0.10 m。

图10 实验布置图Fig. 10 Experimental layouts

将目标函数f1获得的优化形状浮体作为实验组，将圆柱形浮体和半球形浮体这2 种基准形状作为对照组。根据水槽尺寸，小比例浮体模型的宽度均为300 mm，比例尺为0.15，采用三维树脂打印技术加工制作。在装置各个PTO 轴方向上布置有减速电机来模拟负载阻尼力，负载力可通过电机输出侧的电阻值来调节。实验中使用0.25，0.50，0.75，1.00 和1.25 Ω 这5 种负载电阻来产生负载阻尼力。浮体在平移PTO 轴上的直线相对运动通过滚珠丝杆和联轴器等机械传动部件转换为旋转运动再连接电机，浮体在旋转PTO 轴上的旋转相对运动通过增速齿轮箱连接电机。图11 所示为实验结果。

由图11 可以看出，在所有负载情况下，优化得到的浮体运动响应比基准形状更优，验证了本文形状优化方法的有效性。在负载电阻配置为0.75 Ω 时平均发电功率达到最大值，在配置电阻值远离0.75 Ω 时平均发电功率降低，这可能是因为配置0.75 Ω 电阻时产生的负载阻尼力落在了实验波况条件下模型装置的最佳阻尼附近，因此具有最好的俘能效率。同时，当电阻值偏小或者偏大时，也就是负载阻尼相对于最优负载阻尼偏小或者偏大时，优化形状相比基准形状在转换效率上的性能提升不明显。这表明优化结果同时受到PTO 负载力的影响。在实际海况中，波浪能装置的PTO 负载阻尼力不是简单线性的，甚至是时变的，需在优化计算中增加考虑PTO 负载阻尼力对优化结果的影响，这是后续将开展的工作。

图11 实验结果Fig. 11 Experimental results

本文研究了不规则波下多自由度波浪能装置浮体形状的优化设计问题，设计了一种基于遗传算法和B 样条曲面的优化设计方法。该方法将平均发电功率与排水体积和湿表面面积之比作为目标函数，基于B 样条曲线选用了2 种形状方案来进行浮体外形的参数化描述。通过数值和实验研究将优化得到的浮体形状与基准形状的目标函数值进行对比，分析了不同形状方案和目标函数对优化结果的影响。可得到以下结论：

1） 优化形状的能量捕获特性比基准形状有显著提高；
与基准形状的平均发电功率相比，2 种形状方案所得优化形状的平均发电功率增幅都超过了30%。

2） 2 种形状方案得到的优化浮体形状都呈现出了上宽下窄的几何形状特征，水线面以下体积的占比较大；
形状方案-1 的优化结果浮体曲面较规则，形状方案-2 的优化结果浮体曲面较平滑。

3） 与形状方案1 相比，形状方案-2 在目标函数值、平均发电功率及增幅方面都较优，说明形状方案-2 在保证成本的前提下其能量捕获特性优于形状方案-1。同时，形状方案-1 获得的优化形状较为规则，具有更易于加工的优点。

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