分部积分法的使用要点与技巧|分部积分公式口诀

时间：2018-12-23 19:44:28　来源：雅意学习网本文已影响人

　　分部积分法是一种重要的积分方法，尽管该公式形式上简洁：∫udv=uv-∫vdu，但是学生们在学习（或复习）时，对其使用并不熟练，特别是需要专升本的成人考生，解题的技巧表现得更生硬。下面谈一下分部积分法的使用要点与技巧。
　　
　　一、使用分部积分法的基本条件
　　
　　当被积函数是多项式（或幂）、指数、对数、三角及反三角这几类初等函数中的某两类函数乘积形式时，应使用分部积分法，如∫x・arctanx・dx、
　　
　　显然，经过分部积分后所得的新积分式比原积分式复杂了，这种做法不正确。
　　在分部积分中，我们确定u有以下的优先规律：
　　对数函数、反三角函数 →多项式（或幂）函数 →指数函数与三角函数（主要指sinkx和coskx）
　　具体地说，我们是按照以下步骤确定u的：
　　（1）先看被积函数中是否含有对数函数、反三角函数中的一种，若有的话就确定做u。（须指出：在我们现行的高等数学课本上，关于计算积分题目中的被积函数，不可能是“对数函数×反三角函数”的形式。）
　　（2）如果被积函数中不含有上述两种函数中的一种，再看有没有多项式函数（或幂函数），若有的话确定为u。
　　（3）如果被积函数中未含有上述三种函数，那么，一定是指数函数与三角函数乘积的形式（若不然，没必要使用分部积分法！）。这时，指数函数和三角函数都可以确定为u。
　　
　　三、计算分部积分时的几种可能情景
　　
　　那些相对简单点的题目，经过使用一次分部积分即可解决问题。如：
　　∫xcosx・dx=∫x・d(sinx)=xsinx－∫sinx・dx=xsinx+cosx+C。
　　可是，更多的题目仅使用一次是不够的，往往需要使用两次或多次的分部积分，甚至还需配合其它手法才能解决问题。一般可有以下几种情景：
　　1. 多次使用分部积分
　　
　　2. 解一个关于原积分式的方程。
　　如果被积函数是指数函数与三角函数（sinkx或coskx）的乘积形式，那么计算该题需要两次分部积分，并且经过两次分部积分后会得到一个关于原积分式的方程。这时只需解这个方程即可。须强调的是，第二次分部积分时选取的u要与第一次选取的u为同一类函数。
　　
　　四、定积分的分部积分计算
　　
　　定积分的分部积分计算公式与不定积分相比多了上下限。上面看到：用分部积分法计算不定积分时，有的需要多次使用分部积分，也有时须解一个关于原积分式的方程等。当带上上、下限时，在解题过程的书写上显得很麻烦。笔者建议在计算定积分时先计算与这个题相应的不定积分，当得出一个原函数以后再代入上下限，以减少做题过程的书写量，还可避免因为漏写上下限而造成无谓的错误。
　　
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