分类例说利用导数证明函数不等式:利用函数的导数证明不等式

时间：2019-04-16 03:14:54　来源：雅意学习网本文已影响人

　　利用导数证明函数不等式这类问题，既有函数的抽象性、灵活性，又有导数运算及分析的工具性，是考查数学素质的好题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，也是近几年高考的一个新亮点。
　　一、直接求导判断单调性并应用于解题
　　例1 设幂函数f（x）=xn（n≥2,n∈N）,记gn（x）=f（x）+f（m－x）,x∈（0,m）,m>0。（Ⅰ）证明：mn2n－1≤gn（x）0，gn（x）为增函数，∴gn（x）min=g（m2）=mn2n－1。
　　又gn（x）在x=0,x=m处连续，且gn（0）=gn（m）=mn，故mn2n－1≤gn（x）m33恒成立，故以g3（a）,g3（b）,g3（c）的值为长的三条线段一定能构成三角形。
　　练习：设an=3n3n+2，证明：对任意的x>0,an≥11+x－1（1+x）2（23n－x），n∈N。
　　证明：设f（x）=11+x－1（1+x）2（23n－x），
　　则f′（x）=2（23n－x）（1+x）3。
　　∵x>0,∴当x0；
　　当x>23n时，f′（x）0，∴f（x）≥f（0）=0，即1－1x+1≤ln（x+1）。同理可证ln（x+1）≤x。
　　练习：求证：sinx－1时，f（x）≥xx+1。
　　分析：当x>－1时，要证f（x）=1－e－x≥xx+1=1－1x+1，即证e－x≤1x+1，即ex≥x+1。
　　证明：令g（x）=ex－x－1，则g′（x）=ex－1知，g（x）在（－
　　上为减函数，在（0,+ 上为增函数，所以g（x）≥g（0）=0，即ex≥x+1，从而当x>－1时，f（x）≥xx+1。
　　四、分类讨论构造
　　例4 已知函数f（x）=1（1－x）n+ln（x－1），证明：对任意的正整数n当x≥2时，有f（x）≤x－1
　　证明：当n为偶数时，令g（x）=x－1－1（1－x）n－ln（x－1）（x≥2），g′（x）=x－2x－1+n（x－1）n+1>0，∴g（x）在（2,+
　　上为增函数，所以g（x）≥g（2）=0，∴f（x）≤x－1。当n为奇数时要证f（x）≤x－1。由于1（1－x）n0，∴f（x）≤x－1。
　　总结，通过以上几个例题可以看出，根据不等式的结构特征出发，构造一个相关的函数，只要函数构造适当，再利用导数的工具性就会使推证过程变得简捷。
　　（作者单位：湖南省衡阳市铁一中学）

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