由“数”到“式”,,举一反三|举一反三打一数
时间：2019-02-07 03:28:42 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 本文以大家熟知的整数性质来解有关整式的问题，通过比较和分析来探讨竞赛数学中的数学方法和数学思想对中学数学教学的影响和作用.数学教育要教会学生利用所学的知识、技能、思维方法来解决其他问题，学会举一反三，由此及彼，让学生体会数学的魅力和美感。从而使学生获得智力、能力等多方面的提高.
关键词： 整数 因式分解 竞赛数学 数学教育
享有“数学王子”美誉的德国著名数学家高斯曾说：“数学是科学的女皇；数论是数学的女皇.”人类最早认识的数是整数，每个人最先学习的也是整数.整数是数学的基础，数学中所有的研究都离不开整数.整数研究中提出的问题，促进了数学学科中很多重要分支的产生和发展.以整数为研究对象的有关初等数论题目更是各种数学竞赛中的常客.现在，初等数论已经走进中小学课堂，由著名数学家、教育家张景中院士主编的湘教版普通高中课程标准实验教科书选修系列中就有《初等数论初步》.人教版八年级数学上册第十五章的内容为“整式的乘除与因式分解”，在教学实践中遇到一些题目，学生普遍感到棘手，而用竞赛数学中有关整数的性质去解题，简单快捷，有异曲同工之妙.
【例1】已知多项式2x-x+m有一个因式是2x+1，求m的值.
【解法一】分析：由于整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m的值.
解：根据已知条件，设2x-x+m=（2x+1）（x+ax+b）
则2x-x+m=2x+（2a+1）x+（a+2b）x+b
由此可得2a+1=-1 （1）a+2b=0 （2）m=b （3）
由（1）得a=-1.把a=-1代入（2），得b=.把b=代入（3），得m=.
【解法二】分析：由2x-x+m=（2x+1）（x+ax+b）想到多项式的乘除和整数的乘除是一样的.若整数a，b，c满足a=bc，易知若b，c有一个为0，则a必为0.那么当2x+1为0时，2x-x+m必为零，从而问题迎刃而解.
解：当因式2x+1=0时，原多项式2x-x+m=0.即当x=-时，2×---+m=0，解得m=.
【评注】解法一运用多项式的乘法和待定系数法，忠实于教材内容的运用，但与解法二相比就显得繁琐.解法二从整数的乘除来看整式的乘除，学生容易理解，且简单快捷，可以很好地激发学生的求知欲.
【例2】已知：x+bx+c（b，c为整数）是x+6x+25及3x+4x+28x+5的公因式，求b，c的值.
【解法一】分析:分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求出b、c.
解:x+6x+25=（x）+10x+25-4x=（x+5）-（2x）=（x+2x+5）（x-2x+5）
若将多项式3x+4x+28x+5直接因式分解比较困难，我们由已知条件知道公因式x+bx+c必为x+2x+5和x-2x+5中的一个.则我们可以分别设
3x+4x+28x+5=（x+2x+5）（3x+mx+1）
或者
3x+4x+28x+5=（x-2x+5）（3x+nx+1）
通过待定系数法比较系数可知m不存在，n=6，即
3x+4x+28x+5=（x-2x+5）（3x+6x+1）
则x+bx+c=x-2x+5
所以b=-2，c-5.
【解法二】分析:数的整除性有两条基本的性质:
（1）若c|a，c|b，则c|（a±b）;（2）若b|a，n为整数，则b|na.
类似地，x+bx+c是x+6x+25的因式，那x+bx+c也是3（x+6x+25）的因式，从而x+bx+c也是3（x+6x+25）与3x+4x+28x+5差的因式，所求问题及转化为简单的求两个多项式的差的二次因式.
解：由于x+bx+c是3（x+6x+25）及3x+4x+28x+5的公因式，因而也是多项式3（x+6x+25）-（3x+4x+28x+5）的二次因式.
3（x+6x+25）-（3x+4x+28x+5）=14（x-2x+5）.
因为b，c为整数得：x+bx+c=x-2x+5，则b=-2，c=5.
【评注】解法一需要对两个多项式进行分解因式，然后得出公因式.第一个多项式分解因式需要对教材中的完全平方公式和平方差公式了然于胸，然后进行适当的拆项，而添项和拆项是因式分解中的难点.而第二个多项式直接分解因式对大部分学生来说都很困难，可通过待定系数法比较系数得出.解法二对整数整除的两个基本性质进行演绎推理后，转化为简单的多项式加减，从而简便地求出公因式，进而求出答案.解法二化繁为简，化难为易，运用的知识简单易懂，让学生体会到知识的连续性和学习数学的乐趣.
【例3】设整数a，b，c为三角形的三边长，满足a+b+c-ab-ac-bc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.
解:不妨设a≥b≥c，由已知等式可得
（a-b）+（b-c）+（a-c）=26①
令a-b=m，b-c=n，则a-c=m+n，其中m，n均为自然数.
于是，等式①变为m+n+（m+n）=26，即
m+n+mn=13②
由于m，n均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m，n只有两组：
m=3n=1和m=1n=3.
（1）当m=3，n=1时，b=c+1，a=b+3=c+4，又a，b，c为三角形的三边长，所以b+c＞a，即（c+1）+c＞c+4，解得c＞3.又因为三角形的周长不超过30，即a+b+c=（c+4）+（c+1）+c≤30，解得c≤.因此3＜c≤，所以c可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当m=1，n=3时，b=c+3，a=b+1=c+4.又a，b，c为三角形的三边长，所以b+c＞a，即（c+3）+c＞c+4，解得c＞1.又因为三角形的周长不超过30，即a+b+c=（c+4）+（c+3）+c≤30，解得c≤.所以1＜c≤，所以c可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.
【评注】本题为2010年全国初中数学联合竞赛第二试（B）卷第1题.对已知条件所给等式进行恒等变形，只要记住完全平方公式就可根据公式的特征两边同时乘以2即可得到.但变形后依然不易求解.注意题目条件所给为整数，而一个含有三个未知数的等式要求出a，b，c，依然很困难.我们想到含有两个未知数的方程求正整数解的问题，因而分别将a-b，b-c设为m，n，a-c用m，n表示.即转化为两个未知数的方程求正整数解的问题，根据整数性质很容易求解，然后分类讨论即可.
竞赛数学教育是中学数学教育的组成部分，是基础数学教育的完善与补充.数学竞赛植根于中学数学，深化了中学数学的重要内容，许多竞赛题目是课本习题、例题的直接延伸、发展和变化，反映了以现代数学为背景的中学数学的基本概念、基本原理、基本方法和基本应用.数学竞赛对于中学数学的改革和发展起着重要的促进作用，很多新思想、新方法、新内容通过这一桥梁源源不断地输入中学数学，促进中学数学的革新跟上时代的步伐.
由整数性质巧解有关整式的问题，并不需要很多高深的知识，需要的是对知识的出色应用，这与数学教育越来越注重学生能力是一致的.在问题解决的过程中需要出色的应用数学知识，这要求教师对前人已有的成果有较为深刻的理解，需要有面向教学的数学知识，而不能只有教学法的知识.促使教师能在课堂教学中“和风细雨”般融入竞赛数学，体现基础知识的生发作用和在问题解决中的巨大作用.教师需要在深刻理解学科知识的基础上，挖掘学科知识的教育价值，进而把这种价值以教育的形态表达出来.竞赛数学是一种教育数学，以教育的形式反映了做数学过程中问题解决这一重要环节.
参考文献:
［1］张景中.教育数学探索［M］.成都:四川教育出版社，1994.
［2］朱华伟.高师奥林匹克数学课程研究［D］.华中科技大学，2005.
［3］朱华伟.试论奥林匹克的教育价值［J］.数学教育学报，2007，（02）.
［4］教育部基础教育司，数学课程标准研制组.全日制义务教育数学课程标准解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2002.
［5］［美］G•波利亚.怎样解题.涂泓译.北京:科学出版社，1982.
［6］金桃生.运用数的整除性解竞赛题［J］.中学生数学，2009，（02）.
［7］王乐彰.因式分解的常见应用［J］.成才之路，2011，（15）.
［8］闫宝珍.因式分解教学的点滴体会［J］.新课程（教育学术），2011，（05）.
（作者系广州大学计算机科学与教育软件学院硕士研究生）
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