复数加法的几何意义 [矢量加法和空间的几何性质]
时间：2019-01-30 03:41:18 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在“追溯‘力的平行四边形定则’的由来”一文（刊于今年第三期）中，笔者曾写道“包括拉普拉斯、茹可夫斯基……等众多力学家在内，都花了许多时间来争论：‘这个法则究竟是一个数学定理，还是一个勿需证明的经验法则或常识？’”进一步研究发现，这个问题其实早在19世纪下半叶黎曼几何创立的过程中就已经得到了解决。由于涉及到空间的几何性质，且囿于学科壁垒，当年的大家们无由解惑，抱憾绵绵。本文在回顾伽俐略用几何法对运动叠加的研究的基础上，简介工业革命和数学对矢量理论确立的决定性作用，最后从物体在黎曼的椭圆几何空间运动的不可对易性入手，论证了力的平行四边形定则的成立条件。�
1 伽俐略的贡献�
矢量加法（合成）的基本法则有四种：平行四边形法、三角形法、多边形法和正交分解法。从物理本质看，它们是同一种方法的不同呈现形式，其中，平行四边形法最直观，三角形法是基础。在物理学发展史上，伽利略首先用三角形法研究运动合成问题的滥觞。�
伽俐略在《关于两门新科学的对话》的“定理2，命题2”中诠释道：一个物体同时被两个匀速运动所推动，cb和ba分别表示在相同时间间隔内的水平位移和垂直位移（图1），那么，被这两个运动推动的物体描绘出的轨迹是对角线ca，有ca2=cb2+ba2，即合位移的平方等于两个分位移的平方和。在这里，伽利略首开了用几何法研究运动叠加问题的先河。他是依靠思辨与实验相互印证、相互补充，才得出这个结论的。��
矢量及其合成的概念萌芽于二千多年前，但是矢量理论的建立却是十九世纪的事。其时正是欧洲进入和深化工业革命的时代，大功率的蒸汽动力机、快速运转的多轴纺车、各种传动装置的出现，使“力”、“速度”、“加速度”、“位移”等既含有“大小”又含有“方向” 要素的量的使用率越来越高。在随之而来的对连杆、曲轴和工件的平动、转动和进动等复杂运动的研究过程中，运动叠加（合成）原理得到精准的体现和验证，运动的独立性、等时性和矢量性原理也被深刻地揭示。与此同时，矢量理论的数学探讨也提上了议事日程。挪威数学家维塞尔和英国著名数理学家哈密顿等人用矢量来解说复数，从而使复数走向实际；又用复数来描述矢量，让矢量代数化，最终奠定了矢量理论基础，也使力的平行四边形定则为人类的理性所服膺。�
2 力的平行四边形定则和空间的几何性质�
力的平行四边形定则，更一般地说，矢量加法的基本规律及其结果与相加的次序是否有关，决定性地依赖于所处空间的几何性质。如果空间遵守欧几里得几何学的规律，即如那本流行畅销书的书名所云“这世界是平的”（The world is flat），那么就一切顺畅，平行四边形法、三角形法和正交分解法，爱用哪个用哪个，爱怎么用就怎么用，完全不受次序的限制。如果是黎曼的椭圆几何空间(三角形内角和＞π)，情况就起变化了。�
如图2，从地球赤道上一点A向东移1600km到B，接着向北移1600km到C，并不同于两个次序相反的同等位移A-D-E（AD和DE仍是在两正交的大圆周上），它们的终点C、E两点相差近64km(可用球面余弦公式计算)！也就是说，如果位移的幅度比起球的半径不算小的话，在一球面上的位移是不能对易的。这就意味着包括力的平行四边形定则在内矢量加法的正确性，是一个实验问题（几何学本来就是一门实验科学），测试出来的偏离，可以用来推断有关我们在其中操作的空间的几何性质。��
总之，涵盖了力的平行四边形定则在内的矢量及其运算规律并不是凭空产生的，它是由人们生活、生产中时刻遇到的那些经验、知识不断地抽象、升华、提炼而成的，从而具有广泛的应用性。我们不能脱离空间特性独立定义矢量。实际上，空间矢量正是由空间定义直接给出的。平行四边形定则只是在空间各向同性的前提下，适用于那些满足独立作用原理的、可定义大小、方向的量。�
参考文献：�
［1］伽俐略著，武际可译.关于两门新科学的对话.［意］ 北京：北京大学出版社，2006.6：238~239．�
［2］I．С．库德里亚夫采夫等著，梁坑等译.物理学史与科技史.［苏］［J］.黑龙江教育出版社，1985．9 ．�
［3］弗伦奇著，郭敦仁，何成钧译.牛顿力学.［美］．北京：人民教育出版社，1978．12：275-59．�
［4］李德明，陈昌明著.经典力学１.北京：高等教育出版社，2006．5：254-256．
�(栏目编辑赵保钢)
