【运用数形结合法巧解高考三角函数问题】数形结合与三角函数
时间：2019-01-11 03:21:55 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要： 三角函数虽说为“数”，但它却与“形”有着千丝万缕的联系。我们在解决一些三角函数问题时，如能将“数”与“形”珠联璧合，定会无往而不胜。 关键词： 数形结合 三角函数 高考题
数形结合思想是中学数学中非常重要的思想方法.著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非.”三角函数虽说为“数”，但它却与“形”有着千丝万缕的联系.我们在解决一些三角函数问题时，如能将“数”与“形”珠联璧合，定会无往而不胜.
1.求函数的最大值和最小值
例1.（2011年上海卷文科第4题）函数y=2sinx-cosx的最大值为?摇 ?摇?摇?摇.
分析：本题由sinx+cosx=1，容易联想到单位圆，从而利用直线与圆的位置关系解题.
解：令m=sinx，n=cosx，则m+n=1.
由直线2m-n-y=0与圆m+n=1有公共点，则：
≤1，解得-≤y≤.
所以函数y=2sinx-cosx的最大值为.
例2.（2011年重庆卷理科16题）设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos（-x）满足f（-）=f（0），求函数f（x）在，上的最大值和最小值.
解：f（x）=acosxsinx-cosx+sinx=sin2x-cos2x.
由f（-）=f（0），得-×+=-1， 解得a=2.
因此f（x）=sin2x-cos2x=2sin（2x-）.
作函数f（x）=2sin（2x-）在区间，上的图像（如图1）.由图像得函数f（x）在区间，上的最大值为2，最小值为.
评注：求给定闭区间的三角函数最值（值域）问题，一般采用数形结合法求解较为简捷.
2.确定角的范围
例3.（2011年湖北卷理科3题，文科6题）已知函数f（x）=sinx-cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为（）.
（A）{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z}
（B）{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}
（C）{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}
（D）{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}
解:f（x）=sinx-cosx=2sin（x-）.
因为f（x）≥1，所以sin（x-）≥.
设x-=t，则原不等式转化为sint≥.
在同一坐标系内作出函数y=sinx与y=的图像（如图2），由图像可知，在［0，π］上sint≥的解是≤t≤.
所以在R上的sint≥的解是2kπ+≤t≤2kπ+，k∈Z，
所以2kπ+≤x-≤2kπ+，即2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z.故选（B）.
例4.（2008年四川卷理科第5题）若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（）.
解：在同一平面直角坐标系中，画出y=sinx与y=cosx在［0，2π］的图像（如图3）.由图像可知，当＜α＜时，sinα＞cosα成立，故选（C）.
3.判断函数的单调性
例5.（2011年全国新课标理科第11题）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为，且f（-x）=f（x），则（）.
（A）y=f（x）在（0，）单调递减
（B）y=f（x）在（，）单调递减
（C）y=f（x）在（0，）单调递增
（D）y=f（x）在（，）单调递增
解：f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=sin（ωx+φ+）.
因为f（x）的最小正周期为π，所以=π，即ω=2.
所以f（x）=sin（2x+φ+）.
由f（-x）=f（x）知f（x）是偶函数，因此φ+=kπ+（k∈Z），
又|φ|＜，所以φ=.
所以f（x）=sin（2x+）=cos2x.
画出函数f（x）的图像（如图4），由图像可知，y=f（x）在（0，）单调递减，故选（A）.
评注：求三角函数的单调区间，常用图像法直观解决.但要注意画出的函数草图尽量准确，尤其是定义域的范围.
4.函数零点（或方程的根）问题
函数零点就是函数图像与x轴交点的横坐标，因此求函数零点的问题往往需要借助于函数图像，通过图像寻找我们要找的答案.
例6.（2011年陕西卷理科6题）函数f（x）=-cosx在［0，+∞）内 （）.
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点
分析：此题如果想用代数法直接判断函数零点，那么是非常困难的.解决本题的关键将问题转化为研究方程-cosx=0根的个数.再进一步将问题转化为求函数y=与y=cosx在［0，+∞）内的交点个数问题.
解：在同一直角坐标系内作出y=与y=cosx的图像（如图5），由于x＞1时，y=＞1，y=cosx≤1，所以两图像只有一个交点，即方程-cosx=0在［0，+∞）内只有一个根，所以函数f（x）=-cosx
例7.（2010年浙江卷理科第8题）设函数f（x）=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（）.
（A）［-4，-2］ （B）［-2，0］
（C）［0，2］ （D）［2，4］
解：如图6，在直角坐标平面内，先画出函数y=sin2x的图像（图中的实线），然后把其图像向左平移个单位，得到y=sin（2x+1）的图像（图中的虚实线），与直线y=x在区间［-2，0］，［0，2］，［2，4］均有交点，故选（A）.
5.确定参数的范围
例8.（2009年上海卷理科第11题）当0≤x≤1时，不等式sin≥kx成立，则实数k的取值范围是?摇?摇?摇?摇.
解：在同一坐标系下画出y=sin与y=kx的图像（如图7），由图像可知，当0≤x≤1时，要使不等式sin≥kx成立，只需k≤1。
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