等差数列易错题 高中数学等差数列问题解答易错点探析
时间：2019-01-06 03:25:38 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
数列知识是刻画离散现象的数学模型，在日常生活中，我们会遇到如存款利息、购房贷款、资产评析等一些计算问题，数列问题模型可以帮助我们有效解决这些实际问题，学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义。高中数学中的数学知识章节里，经典性的数学问题可以使学生能够切身体会数列的函数背景，感受到数列是研究现实问题情境的数学模型。等差数学作为数列知识的重要组成部分，在促进学生有效解决现实问题中发挥着重要的作用。但学生在学习活动中容易受到自身学习水平和知识理解不透彻的影响，容易出现各种解题错误，导致学习效能降低。我现就学生在解答等差数列过程中易错之处进行初步论述。
一、公差取值理解错误而出现错误解答
在等差数列知识教学中，通过问题解答过程和结果我们可以知道，在等差数列中公差可能为正值、负值或等于0，但是在解题实际过程中，往往会主观地认为公差大于0而漏解，导致解题出现错误。
案例：已知b是a、c的等差中项，且lg（a+1），lg（b-1），lg（c-1）成等差数列，且a+b+c=15，求a、b、c的值。
错误解题过程为：
∵2b=a+c， a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
设等差数列a、b、c的公差为d，则a=5-d，c=5+d.
∵2lg（b-1）= lg（a+1）+lg（c-1），∴2lg4=lg（5-d+1）+lg（5+d-1）=lg［25-（d-1）］，∴16=25-（d-1），∴（d-1）=9，∴d-1=3，d=4∴a、b、c依次是1、5、9.
通过上述解题过程的分析，我们发现，在这一问题进行到（d-1）=9的解答时，开平方得d-1=3，仅取算式平方根是错误的。在解题过程中，遇到求某数的平方根时，一般应求出两个值，再根据题设条件来决定取舍，如果仅取算术平方根，那么往往会发生漏解的现象。因此，正确的解题过程为：
解：∵2b=a+c， a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
设等差数列a、b、c的公差为d，则a=5-d，c=5+d，
∵2lg（b-1）= lg（a+1）+ lg（c-1），∴2lg4=lg（6-d）+lg（4+d），
∴16=（6-d）（4+d），∴d-2d=8，∴d=4，或d=-2.
∴a、b、c依次为1、5、9或7、5、3.
二、不能正确理解等差数列的性质而出现错解
在等差数列{a}中，如果问题中出现形如m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则a+a=a+a。很多学生在解题时往往会产生a=a+a。
案例：设{a}是等差数列，a=q，a=p（p≠q），试求a的值为多少？
某一学生解题过程为：∵{a}是等差数列，∴a=a+a=p+q.
通过研究分析，发现这一学生在解题过程中根据以往学习知识内容而形成的惯性思维特点，在审题过程中错误的将a的结果等同于a+a，究其原因在于学生在对等差数列知识的性质进行理解时，未能抓住等差数列知识性质的关键词和掌握其内在含义，从而导致解题过程出现错误。因此，正确的解题过程为：
解：∵a=a+（p-1）d，a=a+（q-1）d，∴a+（p-1）d =q（1），a+（q-1）d=p（2）.由（1）-（2）得：（p-q）d=q-p.∵p≠q，∴d=-1，代入（1）中，原式=（p-1）・（-1）=q，∴a=p+q-1，∴ap+q=a+（p+q-1）d=p+q-1+（p+q-1）・（-1）=0.
三、错用等差数列前n项和的性质进行问题解答导致错解
通过对等差数列前n项性质内容的学习，学生能够运用其性质内容进行问题的有效解答，但由于学生在等差数列{a}的前m项和S，与S-S，S-S成等差数列，但在解题时常常误认为S，S，S成等差数列而导致解题过程出现错误。
案例：设等差数列{a}的前n项和S，已知S/S=1/3，求S/S的值。
错误解题过程如下：解，令S=k，S=3k，则S=5k，S=7k，所以S/S=5k/7k=3/7.
通过对这一问题解答过程分析，发现本题中数列为等差数列，所以S，S-S，S-S，S-S等差数列，而不是S，S，S，S成等差数列。因此正解为：
解：令S=k，S=3k，∴S-S=2k，
∴S-S=3k，即S=6k，S-S=4k，即S=10k，
∴S/S=3k/10k=3/10.
四、利用数列前n项的和S求通项a时，忽略条件n≥2而出现解题错误
利用a=S-S（n≥2）求通项时，对于a需要进行验证说明时，若符合a的表达式，可利用一个表达式表示；若不符合，则需要用两个表达式，即分段进行表示，而解题中经常会出现忽略条件n≥2而不检验a是否符合a的式子，而出现解题错误。
案例：已知数列{a}，a=1，S=n-2n+1，求a的值。
错解过程如下：
∵a=S-S= n-2n+1-（n-1）+2（n-1）-1=n-2n+1-n+2n-1+2n-2-1=2n-3。∴a=2n-3（n∈N）.
这一问题解答时，题中所用的关系式a=S-S只有当n≥2时才能成立，而这一问题中遗漏了这一条件，所以解题过程错误。其正确解答过程为:
解：a=S-S（n≥2）
= n-2n+1-（n-1）+2（n-1）-1
=n-2n+1-n+2n-1+2n-2-1
=2n-3
当n=1时，a=1不能满足上式条件，
所以a=1（n=1）或2n-3（n≥2）.
以上是我在实际教学中根据学生解题过程中出现的问题，进行的简单的整理和初步的剖析，希望能够抛砖引玉，以期引起广泛反映，共同推动有效问题教学活动的进程。
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