关于一道中考试题的评析及另解:中考试题
时间：2019-01-02 03:34:36 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
一年一度的中考又临近了,回想起参加2009年安徽省中考望江县考点的数学阅卷工作,感觉仍在眼前,当时我评阅的是第22题,印象中该题得分普遍不高,尤其是第(2)小题得分更低。现将该题加以简单点评,并给出第(2)小题的另一种解法,供读者参考。
试题:如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,且DM交AC于F,ME交BC于G。
(1)写出图中两对相似三角形,并证明其中的一对;
(2)请连结FG,如果α=45°,AB=4,AF=3,求FG的长。
此题主要考查相似三角形的知识。其中第(1)小题要求学生写出相似三角形,并进行证明,这样的过程是一个经历观察、猜想、归纳、证明的过程,既有合情推理又有演绎推理的过程,符合《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》指出的学生通过义务教育阶段的学习,“经历观察、猜想、归纳、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”这一要求。尽管只要求写出两对(事实有三对),但由于有的考生对相似三角形的判定定理理解不透,想当然地写出不是相似的两个三角形,例如△MDG∽△MEF,△DCF∽△ECG,等等。第(2)小题是在第(1)小题的基础上利用△AMF∽△BGM来解决的图形计算题的,但很多考生不会利用第(1)小题搭建的这一“脚手架”,从而导致失分。这主要是由于图形中共有三对相似三角形,而第(1)小题只要求写出两对,许多考生没有写出△AMF∽△BGM这一对有关,这也是命题专家的一个高明之处:通过搭建脚手架,让考生“跳一跳,够得着”,而不是让他们一伸手就轻意地摘走胜利的果实。《2009年安徽省中考数学试题及答案》提供的第(2)小题解答如下:
解:(2)当α=45°时,可得AC⊥BC且AC=BC,
∵M为AB的中点,
∴AM=BM=2。
又∵△AMF∽△BGM,
∴=,
∴BG===。
又AC=BC=4cos45°=4,
∴CG=4-=,CF=4-3=1,
∴FG===。
以上解答简便、直接,体现了义务教育阶段数学课程的基础性、普及性,但如果不会直接利用△AMF∽△BGM这一结论就会失分,由此,我想:该题有无其它解法?不利用第(1)小题的结论可行?经过认真思考,我认为不利用第(1)小题的结论,利用三角形全等也能解决问题,具体解答如下:
如图,连接MC,
∵∠A=∠B=45°,
∴AC=BC,且∠ACB=90°。
∵M为AB中点,
∴∠AMC=BMC=90°。
在BG上取点H,使∠GMH=GMF=45°,连接MH,则∠FMH=90°,
∴∠FMC=∠HMB=90°-∠CMH。
又∠B=∠ACM=45°,MB=MC,
∴△MFC≌△MHB(ASA),
∴MF=MH。
又∵MG=MG,∠FMG=∠HMG,
∴△FMG≌△HMG(SAS),
∴FG=HG。
设GC=x,由AC=BC=4cos45°=4得FC=AC-AF=1,
∴FG==HC-GC=AF-GC=3-x,
∴1+x=x-6x+9,
∴x=,
∴FG==。
上述解题过程尽管有点繁琐,但不失为一种方法。因此,在中考临近之际,我建议中考命题专家在提供试题答案时尽可能多地提供解题方法,以免阅卷老师误判。
参考文献:
[1]让生态式教育走进数学课堂.考试周刊,2009,(5).
[2]谈创造性阅读在数学学习中的运用.科教文汇,2009.7,(中旬).
[3]开放探索性问题的解法.中学教学参考,2009,(8),(中旬).
[4]把握数学课堂有效教学的起点.中学教学参考,2010,(1),(中旬).
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