浅析多位数乘法计算中的进位错误类型及笔算乘法的教学层次:2*3和2*2矩阵乘法公式
时间：2019-04-04 03:19:40 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
一、学生在多位数乘法竖式计算当中出现的进位错误类型 一般来说，通过适当训练，运用竖式来计算乘法，绝大多数小学生都能掌握。但是，在教学中我们还是发现有一部分学生的计算难以过关。以下是我们通过调研分别属于不同城市的三所小学当中的9名即将进入四年级下学期的学生的平时作业即测试卷等作品，梳理出来的他们在多位数乘法竖式计算中出现的进位错误，主要有以下错误类型：
（1）进位错算或使用时机（运算顺序）错误。如，在625×58的竖式当中，有学生是这样计算第一部分乘积的：5×8得40，向前进位4、写下0；然后是，向前面进位1，再将6与之前进上来的4相加、接着在乘积中写0；然后是6×8得到64（口诀不过关），在乘积里写下65。结果第一部分乘积是6500，中间的0是因为进位使用时机错误而导致的。他在2×8计算得到16之后先进位再与前面进上来的4相加，这是一种错误的运算顺序。再如，计算115×14时，有学生是这样计算第一部分乘积的：5×4得20，向前进位2、写下0；然后是1×4得到4，与之前进上来的2相加得到6，在乘积里写6；然后是直接用这个进上来的2与第一个因数的百位1相乘，在乘积里写下2，于是第一部分乘积得到260。这是错误地用进上来的数2代替了第二个因素个位4进行计算而造成的后果。
（2）直接将进位写进乘积。如在365×25的竖式中，有学生是这样计算第二部分乘积的：2×5得到10，在乘积里写下10；2×6得到12，在乘积里写下12；2×3得到6，在乘积里写下6，于是第二部分乘积得到61210□（□表示空一位，下同）。
（3）将第二部分乘积的进位以及两个部分乘积之和的进位都写第二个部分乘积下标位置，两种进位被混淆。
如列竖式计算321×62时，有学生是这样计算第二部分乘积的：首先是6×1得到6在乘积里写下6；然后是6×2得到12，进位1、在乘积里写下2；6×3得到18与之前进上来的1相加得到19，在乘积里写下19。于是得到第二部分乘积19126□。然而，在将第一部分乘积642与第二部分乘积19126□相加的时候：个位上得到2；十位上4＋6得到10也要进1写在第二部分乘积当中数字2的下标位置（使得19126□变成了191216□），再在和里写下0。可是在计算百位上的和的时候，这个后来的进位1，被该生忽略了（6＋21得到了8，和的百位上是8）。然后是千位，□＋91得到了9，万位上是□＋1得到1。这样，在191216□中的两个来源不同的进位1被同样忽略不计了。这是因混淆第二部分乘积的进位以及两个部分乘积之和的进位而出现的错误。
（4）将第二部分乘积的进位写在第二个因数的下标位置，导致第一部分乘积的进位和第二部分乘积的进位混乱而出错。如在218×34的竖式中，有学生这样计算第一部分乘积：4×8得到32进位3写成第二个因数的百位的下标（使得第二因数位置变成□334），在乘积里写下4；然后是4×1得到4与进位3相加、在乘积里写下7；然后是4×2得到8在乘积里写下8，于是得到第一部分乘积是872。接下来计算第二部分乘积：3×8得到24、进位2写在第一个因数的千位的下标位置（使得第二因数位置变成□2□334），在乘积里写下4；然后是3×1得到3、在乘积里写下3（忘记之前的进位2了），然后是3×2得到6、在乘积里写下6，于是得到第二部分乘积634□。这样，由于该生将来源不同的进位2与进位3混淆在□2□334里，而在计算第二部分乘积遗漏了这个进位2。
（5）将第一部分乘积的进位写成了第一部分乘积的上标，在计算时却又忽略不计了。如列竖式计算314×28，有学生得到的第一部分乘积是24112，然后再与第二部分乘积628□相加：个位上得到2，十位上得到9，百位上得到6，千位上得到8。这是因为忽略了作为上标的进位1而导致计算结果出错。
（6）将第二部分乘积的进位写成本部分乘积的下标，混淆第二部分乘积中的进位与两个部分乘积之和的进位。如318×34，有学生这样计算第二部分乘积：3×8得到24，往前进位2、在乘积里写下4；3×1得到1，不管之前的进位2而在乘积里写下3；接着是直接将第一个因数的百位3照搬下来写进乘积，于是得到第二部分乘积时3324□（□表示 空一位，下同）。再与第一部分乘积372相加：个位上得到2，十位上得到0（除了7+4=10错误，该生还认为进位1“无处可写”、于是不写），百位上得到8（因为32＋3）（忽略了不写出来的进位1了），千位上是3。这是两种进位混淆、导致和的进位被遗漏了。
二、以上进位错误的认知根源
事实上，这些错误类型，在我后来专门对上述调研学生当中分别属于不同学校的三名学生进行的简单现场测试中还依然出现。因此，我们认为这些进位错误类型还是比较顽固的。他们从三下开始学习两位数乘两位数的竖式计算，到四上接着学习三位数乘两位数的竖式计算。而在二下又已经学习了多位数乘一位数的竖式计算，他们对竖式中的进位的学习时间不短了，根据学习的强化和迁移理论，后续的学习还可以对前面学生当中存在的错误有弥补、改进的作用。可是，长时间的学习虽然使他们出现的其他计算错误都得到了一定改正或者得到一定程度的改善，但竖式当中的进位错误在四上结束后还出现多次。这是一种“一贯地根据一个明确的、但是是错误的程序进行操作的错误”。这种错误不能简单归结为“因疏忽而造成”，也不能归结为“因不良学习习惯造成”，如“不认真”“粗心”等，这应该是一种“系统性错误”。“系统性错误”有着深刻的认识论根源，应该是这几个学生形成了关于多位数乘法竖式中的进位的某种不正确的知识结构，并且“一贯”地在发挥作用。这种错误，并不是简单地通过要求学生端正学习态度、注意书写规范等就能得到改善或消除的。我们必须通过帮助学生“改造”这种错误知识结构才能得到纠正，更重要的是要注意“从源头上”、在学习初期、在讲解算理的时候就开始预见并预防这类系统性错误，有针对性地设计教学推进的层次，避免学生形成错误的知识结构。
三、关于笔算乘法的教学层次
事实上，多位数乘法竖式计算当中的进位，包括第一部分乘积的进位、第二部分乘积的进位、各部分乘积之和的进位；同时竖式本身还是一个“三位一体”的综合体（集两位数乘一位数、两位数乘整十数的乘法、加法，三个竖式综合的简便写法），这就造成了一定的认知挑战。因此，在教学当中，教师需要有全局的视野、对教科书提供的多位数乘法教学内容进行统一分层设计、沿着明晰的主线来推进教学：（1）没有进位的两位数乘两位数笔算方法，主要是让学生了解竖式的书写格式。（2）有进位的两位数乘两位数笔算方法，要让学生既明确各部分乘积进位的书写位置及其结构、又要理解第二部分乘积进位的书写与减法竖式当中的“借位”写法的区别和联系。（3）主动安排可能诱发6种进位错误类型的练习，将预防和巩固结合起来。（4）在三位数乘两位数的笔算教学中，再适当强调各部分乘积的进位与各部分乘积之和的进位的区分，巩固和进一步完善学生关于多位数乘法的进位的知识结构。
