不可忽视导数的函数本色 导数公式及运算法则
时间：2019-02-11 03:16:31 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
导数进入中学数学教材之后，给传统的中学数学内容注入了生机与活力，拓宽了高考的命题空间。但在平时教学中，笔者发现学生往往忽略了导数即导函数的简称，未能从函数的图像和性质进行分析，进而影响了导数问题的切入。下面笔者结合一些高考题或高考模拟题，从函数视角分析导数。
一、从导数的图像进行分析
例1：（06天津卷）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图像如图所示，则函数f（x）在开间（a，b）内有极小值点（）。
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析：函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图像如图所示，函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。
例2：（05湖北卷）已知向量 =（x ，x+1）， =（1-x，t），或函数f（x）= ・ 在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。
分析：依定义f（x）=x （1-x）+t（x+1）=-x +x +tx+t，
f′（x）=-3x +2x+t。
若f（x）在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设f′（x）≥0。
∵f′（x）的图像是开口向下的抛物线，
∴当且仅当f′（1）=t-1≥0，且f′（-1）=t-5≥0时，f′（x）在（-1，1）上满足f′（x）＞0,即f（x）在（-1，1）上是增函数。
故t的取值范围是t≥5。
二、从导数奇偶性分析
例3：（07福建理11）已知对任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，（）。
A.f′（x）＞0，g′（x）＞0B.f′（x）＞0，g′（x）＜0
C.f′（x）＜0，g′（x）＞0D.f′（x）＜0，g′（x）＜0
解析：由题意知，f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以f′（x）为偶函数，g′（x）为奇函数，由奇偶函数的图像特征及已知可得，当x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0，故选B。当然，本题若从导数几何意义结合图像思考，也不难得出B为正确答案。
三、从导数的单调性分析
例4：（08福建卷）已知函数y=f（x），y=g（x）的导函数的图像如下图，那么y=f（x），y=g（x）的图像可能是（）。
分析：由导函数的单调性不难发现y=f（x）的切线斜率逐渐增大，y=g（x）的切线斜率逐渐减小，从而排除A、C。由于y=g（x）切线斜率变化比较快，故排除B。选D。
例5：（05湖北卷）若0＜x＜ ，则2x与3sinx的大小关系（）。
A.2x＞3sinxB.2x＜3sinx
C.2x=3sinxD.与x的取值有关
分析：设f（x）=2x-3sinx，则f′（x）=2-3cosx。
∵y=f′（x）在（0， ）上是增函数，∴f′（x）＞f（0）=0。
∴y=f（x）在（0， ）上是增函数，∴f（x）＞f（0），∴2x-3sinx＞0。
故选A。
四、从导数整体性质分析
例6：（08泉州模拟）当0＜x＜π，试判断sin 与 的大小关系，并加以证明。
分析：根据图像可以初步判断sin ＞ 。
构造函数g（x）=sin - ，g′（x）= cos - x 。
f（x）=cos 在（0，π）上递减，又y=- x 在（0，π）上递减。
∴g（x）在（0，π）上递减。
∵g′（0）= ＞0，g′（π）=- ＜0，g′（π）在［0，π］连续，
∴必存在唯一的x ∈（0，π），使得g′（x ）=0。
①当0＜x≤x 时，恒有g′（x ）≥0，g（x）在（0，x ］递增，∴g（x）＞g（0）=0。
②当x ＜x＜π时，恒有g′（x ）＜0，g（x）在（0，x ］递减，∴g（x）＞g（π）=0。
由①②得，对0＜x＜π恒有g（x）＞0，即sin ＞ 成立。
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