【对高次方的个位数字规律探索】 初一数学探索数字规律
时间：2019-01-09 03:30:04 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
七年级北师大版数学教科书的下册的《整式》一章复习题中有这样一道题： 求（2-1）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）…（2+1）+1的个位数字. 此题是留给学生课后思考的，许多学生利用平方差公式求解得到2的64次方，但个位数字是多少却计算不出来，有的学生利用计算器得到它的个位数字是6.我们已经算到2的64次方，要求2的64次方的个位数字比较困难，有的学生问有没有一种更简单的方法呢？我们今天就对2的高次方的个位数字的规律进行探讨：
2=2 2=42=82=16
2=322=64 2=128 2=256
从上我们观察出来：2的n次方的个位数字有规律性，指数是4次方后循环，可以归纳为：用2的指数n整除4后看余数，如果余数是1，2个位数字是2；如果余数是2，2个位数字是4；如果余数是3，2个位数字是8；如果余数是0，2个位数字是6.用数学式子表示为:
2=（ ）2 2=（ ）4 2=（ ）82=（ ）6
说明：小括号内是十位以上数字.
计算2的64次方的个位数字，用64整除4余数为0，对照上面可知2的64次方的个位数字是6.
问题:（1）2的任何次方的个位数字可以利用上述规律求出吗？
（2）利用上述方法可以探索出以数字1―9为底的n次方的个位数字的规律性吗?同学们在下面去思考和完成.
我们将以数字1―9为底的n次方的个位数字的探索规律归纳如下.
1.数字2、3、7、8为底的n次方的个位数字的探讨
（1）以2为底n次方的个位数字规律探讨不再重复.
（2）3=33=9 3=27 3=81
3=243 3=7293=21873=6561
……
3=33=93=73=1
说明:用3的指数n整除4后看余数，如果余数是1，3个位数字3；如果余数是2，3个位数字是9；如果余数是3，3个位数字是7；如果余数是0，3个位数字是1.
（3）7=7 7=497=343 7=2401
7=16807 7=1176497=8234437=5764101
……
7=?摇?摇?摇?摇77=?摇?摇?摇?摇97=?摇?摇?摇?摇37=?摇?摇?摇?摇1
说明:用7的指数n整除4后看余数，如果余数是1，7个位数字是7；如果余数是2，7个位数字是9；如果余数是3，7个位数字是3；如果余数是0，7个位数字是1.
（4）8=8 8=64 8=512 8=4096
8=32768 8=262144 8=2097152 8=16777216
……
8=?摇?摇?摇?摇88=?摇?摇?摇?摇48=?摇?摇?摇?摇28=?摇?摇?摇?摇6
说明:用8的指数n整除4后看余数，如果余数是1，8个位数字是8；如果余数是2，8个位数字是4；如果余数是3，8个位数字是2；如果余数是0，8个位数字是6.
利用上述探索的规律可计算这些数字的任何正整数次方的结果的个位数字，举例说明.
例1：2个位数字是多少呢？2的个位数字是多少呢？
解：2005÷4=501……1
可得：2=2，可知2的个位数字是2.
2000÷4=500
可得：2=2可知2的个位数字是6.
例2：2-1的个位数字是多少？
解：2=2，2的个位数字是4.
2-1的个位数字是3.
例3：3的个位数字是多少？
解：1999÷4=499……3
3=3，所以3的个位数字是3.
例4：7+2003的个位数字是多少？
解：7=7，结果的个位数字为3，
可知：7+2003的个位数字应为6.
2.数字4、9为底的n次方的个位数字的探讨
（1）4=4 4=16
4=64 4=256
4=10244=4096
……
由此可知：4=?摇?摇?摇?摇4 4=?摇?摇?摇?摇6
说明:4的n的个位数字是两次方后循环，可归纳为:用4的指数除以2，如果余数为1，4的n次方的个位数字是4;如果余数为0，4的n次方的个位数字是6.
（2）9=9 9=81
9=7299=6561
9=59049 9= 531441
……
由此可知：9=?摇?摇?摇?摇9 9=?摇?摇?摇?摇1
说明:9的n的个位数字是2次方后循环，可归纳为:用9的指数除以2，如果余数为1，9的n次方的个位数字是9;如果余数为0，9的n次方的个位数字是1.
例:求9+5的个位数字是多少?4-3的个位数字是多少?
解:2008÷2=1004，9的2008次方的个位数字是1，显然
9+5的个位数字是6.
587÷2=294……1，2的个位数字4，
显然2-3的个位数字是1.
3.数字1、5、6为底的n次方的个位数字的探讨
（1）1=11=11=11=1
……
由此可知：1的结果的个位数字是1.
（2）5=55=255=75 5=625
……
由此可知：5的结果的个位数字是5.
（3）6=66=366=216 6=1296
……
由此可知：6的结果的个位数字是6.
归纳起来：数字1、5、6的任何正整数次方的个位数字都是它本身.
我们探讨了自然数字1―9的正整数次方的个位数字的规律性，由此我们还可以进一步探讨.
4.底数是两位数或两位以上的数的n次方的个位数字的规律探讨
底数是两位数或两位以上的数的n次方的个位数字的规律:只考虑底数的个位数字的n次方就可以，下面举例说明.
如：求17的个位数字是多少？
分析：底数17的个位是7，只要求出7的个位数字即可，而7=7，由7的n次方的个位数字的规律探索表可得是9.
解：2006除以4得商是501，余数是2.
17=17 . 7的个位数字是9，所以17的2006次方的个位数字是9.
问题：（1）求53的个位数字？
（2）求39+6的个位数字？
（3）求256的个位数字?
上面几道题留给大家思考.
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
