斯笃兹定理与洛必达法则:斯笃兹定理
时间：2019-01-03 03:35:21 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要: 本文介绍了洛必达法则与斯笃兹定理的相关推论,在离散与连续的条件下给出了应用举例。 关键词: 斯笃兹定理 洛必达法则 离散 连续 1.问题的提出
离散与连续是数学中一对重要的矛盾,量的离散变化状态有时可以看作是连续变化状态的特别情况。由于连续变化的量的研究有许多方便的手段,如微分和积分,因此我们常常把离散变化的量的问题转化为连续状态来研究,从而求得问题的解决。
在求极限的过程中,斯笃兹定理和洛必达法则经常被作为工具来求“”和“”型不定式的极限,本文分别给出了斯笃兹定理在连续与离散条件下的定理证明与推论,并给出了应用举例。
2.斯笃兹定理
定理1:设{a}是趋于零的数列,{b}单调递减趋于零,则当存在或为+∞时,也存在或为+∞,且=。
证明:只考虑极限=L是有限数的情况。
由极限定义,对任意的ε>0,存在有N,
使当n>N时,L-ε0,
于是当m>n>N时,有(L-ε)(b-b) (L-ε)(b-b) ……
(L-ε)(b-b) 相加后:(L-ε)(b-b) 令m→∞,(L-ε)b 所以,当n>N时,L-ε0,使当n>N时,L-εg(x),x∈(a,+∞);
(2)g(x)=+∞;
(3)f(x)在(a,+∞)的任意子区间(a,b](b0,取X,使当t>X时,有l-εX时可有:
(l-ε)[g(t+kT)-g(t)]X+1,取自然数n,使得t=x-nT∈(X,X+1],
于是有:(l-ε)[g(x)-g(x-nT)]0)。
假定等式右端的极限都存在(有限或+∞,-∞)。
[注记3]取g(x)=x,则有:
推论2:若
(1)函数f(x)定义于区间[a,+∞)上,且在每一有穷的区间[a,b]上有界;
(2)存在着有限的或无穷的极限=l,那么=。
3.应用
(1)运用洛必达法则
例1.求极限。
解:记-1=α>0,则有α=0。
所以==。
这里,我们先将极限过程由“n→∞”转化为“x→0”,然后应用洛必达法则,得到=1。
(2)运用斯笃兹定理
例2.记z=,则有:
z===。
这个极限的计算,当然也可利用关于1+2+…+n的初等公式。但是,对一般的k,有关公式的推演远非这里的计算简单。
例3.进一步,记u=n(z-)=,则有:
u===。
例4.设00,必有N,仅当n>N时,有1 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
