数形结合思想例证_数形结合思想
时间：2018-12-29 03:21:42 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
数量关系与现实世界空间形式是数学学科不可分割的一个整体，数与形的结合是数学学科最为突出的特点之一。因此，在数学的学习过程中我们必须逐步树立数形结合的思想，逐步学会用数形结合的方法来解决数学问题，逐步养成以形想数、以数思形的良好思维品质。可以这样说，没有树立起数形结合思想、不会随时灵活运用数形结合的方法来解决数学问题的人，一定学不好高中数学。相反，当我们树立起了数形结合的思想，将函数、方程、不等式、复数、向量、解析几何等知识有机地联系起来，并能随时灵活地运用数形结合的方法来解答数学问题，那么必定会使许多数学问题得到最直观、最简捷的解答，有时甚至会得到意想不到的收获。下面举几例加以说明。
例1：当m为何值时，关于x的方程=x+m有两个不等实数根？一个实数根？没有实数根？
分析：若将原方程有理化，讨论方程2x+2mx+m-1=0在x∈A={x|1-x≥0}上解的情况，则计算量大并且不容易得到正确答案。但若从图形方面去思考，问题便化归为讨论两曲线y=（即x+y=1，y≥0）与y=x+m交点个数的情况，则问题就容易多了。
图1
解：在同一坐标系内作出曲线y=和直线系y=x+m（如图1），则当 1≤m＜时原方程有两个不等实数根；当m=或-1≤m＜1时原方程有一个实数根；当m＜-1或m＞时原方程没有实数根。
例2：已知关于x的二次方程kx-（2k+1）x+k=0的两个根x、x满足-1＜x＜1，1＜x＜2，求实数k的取值范围。
分析：本题若按思路△＞0并且用求根公式求出两根x、x再代入-1＜x＜1，1＜x＜2确定实数k的取值范围，则必然涉及关于k的高次无理不等式组，计算量太大。但若联想到二次函数图像，则问题即转化为考察二次函数f（x）=kx-（2k+1）x+k 的图像与x轴的两个交点在什么情况下才各落在区间（-1，1）与（1，2）内，数形结合便可得到较为简便的解法。
图2
解：联想到二次函数f（x）=kx-（2k+1）x+k 的图像（如图2），那么原条件即f（-1）f（1）＜0，并且f（1）f（2）＜0，即（2k+2k+1）（2k-2k-1）＜0，并且（2k-2k-1）（5k-4k-2）＜0，
∴＜k＜，或＜k＜。
例3：试证明，+≥对于一切实数X成立。
分析：本题若纯粹从不等式的角度去考察，会感到无从下手。但若从函数或形的角度去考察，则问题就容易多了。设f（x）=+，显然函数的定义域是实数集合R，于是只要证明函数的最小值是或者求出函数的值域是［，+∞）即可，因此可以利用导数知识求解。若从形的角度去考察，将原式变形为+可知，原不等式左边表示平面上动点P（x，0）到两定点A（-3，±2），B（5，±3）的距离之和，数形结合便可轻松求解。
证明：+=+表示动点P（x，0）到两定点A（-3，±2），B（5，±3）的距离之和（如图3），数形结合便知当动点P运动到两点A′（-3，-2）、B（5，3）联结线与x轴交点重合时，点P′（x，0）到两定点A（-3，±2），B（5，±3）的距离之和取得最小值，即A′、B两点的距离。
∴+≥对于一切实数X成立。
另证：设f（x）=+，则显然x∈R。
∵f′（x）=（）′+（）′=+，
令f′（x）=0，得（x+3）=（5-x） ，化简得5x+94x-19=0，
∴x=（x=-19是增根），从而R被分成两个区间（-∞，），（，+∞），
易知当x∈（-∞，）时f′（x）＜0，f（x）是减函数；当x∈（，+∞）时f′（x）＞0，f（x）是增函数。
∴f（x）在x=时取得最小值。
∴+≥对于一切实数X成立。
例4：①已知对于一切实数x都有k≤|x+2|+|x-2|+|x-4|成立，求实数k的最大值。
②x，y是任意实数，求u=|x+2|+|x-y|+|y-5|的最小值。
③n是大于1的自然数，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-（2n+1）|的最小值。（2006年高考选择题最后一题取n=19而成）
分析：这一组题都涉及若干个绝对值的和的问题，通常方法是分段把绝对值符号去掉化为分段函数来解决。对于①可用这种方法解决，但对于②用这种方法就涉及多元函数问题，而且两个变量不便于分段，对于③就要把实数集合分成2n+3段来讨论，问题较为复杂。但从形的角度考虑，这三个问题都可以理解为数轴上的动点到若干个定点的距离之和，这样问题就容易解决了。
①解：∵|x+2|+|x-2|+|x-4|即数轴上的动点P（x）到三个定点A（-2）、B（2）、C（4）距离之和（如图4），当且仅当点P与点B重合时|x+2|+|x-2|+|x-4|取得最小值6，因此，只要k≤6则k≤|x+2|+|x-2|+|x-4|。∴k=6就是所求的最大值。
图4
②解：|x+2|+|x-y|+|y-5|即数轴上的两个动点P（x）、Q（y）与两个定点A（-2）、B（5）中P与A、P与Q、Q与B三段距离之和，数形结合易知，当-2≤x≤y≤5时u=|x+2|+|x-y|+|y-5|取得最小值7。
③解：|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-（2n+1）|即数轴上的动点P（x）到2n+1个定点A（1）、A（2）、A（3）、…、A（2n+1）个定点的距离之和，数形结合易知当且仅当动点P（x）与定点A（n+1）重合时|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-（2n+1）|取得最小值2（1+2+3+…+n）=n（n+1）。
注意：若干个绝对值的和与差问题分段去绝对值符号化为分段函数是最根本的方法。
例5：已知f（x）是定义在实数集合R上以2为周期的周期函数，对于k∈Z，用I表示区间（2k-1，2k+1］，若x∈I时f（x）=x。①求f（x）在I上的解析表达式；②当k∈N时，求集合M=a使方程f（x）ax在x∈I上有两个不等实数根。
图5
分析：根据周期函数的图像具有重复出现的特点，本题宜用数形结合的方法求解。
解：f（x）是以2为周期的周期函数，并且当x∈I时f（x）=x（一段抛物线），因此，f（x）在实数集合上的图像就是将抛物线段y=x（-1＜x≤1）向左右两个单位两个单位的平行移动并且无限延展联结而成（如图5）。当x∈I时f（x）的图像就是将抛物线段y=x（-1＜x≤1）的顶点平行移动到点O′（2k，0）而得图像。
所以①f（x）=（x-2k），x∈I=（2k-1，2k+1］，k∈Z。
②方程f（x）=ax在x∈I上有两个不等实数根，即两曲线y=ax与y=（x-2k），x∈I=（2k-1，2k+1］有两个不同的交点，由图像易知当直线l：y=ax夹在x轴（y=0）与直线L：y=之间（包括L）时两曲线必定有两个不同的交点。
这时0＜a≤，k∈N。∴M=a0＜a≤，k∈N为所求。例6：①当实数m为何值时，关于x的方程lg（-x+3x-m）=lg（3-x）有且只有一个根？
②当实数k为何值时，关于x的方程log（x-ka）=log（x-a）（a＞0且a≠1）有解？并求出这个解。
图6
①解：lg（-x+3x-m）=lg（3-x）?圳（-x+3x-m）=（3-x）＞0?圳（x-2）=1-m，x∈A=（-∞，3）。在同一坐标系下作出y=（x-2），x∈A与y=1-m的图像（如图6）可知，当1-m=0或1-m≥1原方程只有一个实根。
所以，m∈（-∞，0］∪{1}为所求。（m为何值时方程有二不等实根？）
图7
②解：log（x-ka）=log（x-a）?圳x-ka=＞0，a＞0且a≠1。原方程有解即两曲线y=（y＞0），y= x-ka有交点。而y=（y＞0）即x-y=a（y＞0），数形结合（如图7）得：当k＜-1或0＜k＜1时两曲线有交点即原方程有解。再求交点的横坐标，由x-ka=得x=a为原方程的解。
另解：log=（x-ka）=log（x-a）（a＞0且a≠1）?圳x-ka=x-ka＞0且x-a＞0?圳x=a＞ka且（a）＞a，a＞0，
∴k（k+1）（k-1）＜0且（k-1）＞0，
即k∈（-∞，-1）∪（0，1）时方程有解x=a。
例7：解关于x的不等式＜x-a。
图8
解：＜x-a的解就是曲线y=位于曲线y= x-a下方那段曲线所对应的横坐标x的取值范围。而y=即（x-1）-y（y≥0），数形结合（如图8）得：
当a＜0时，x∈，0 ∪［2，+∞）为原不等式的解集；
当0≤a≤1时，x∈［2，+∞）为原不等式的解集；
当1＜a＜2时，x∈ 2，为原不等式的解集；
当a≥2时，原不等式的解为空集?�。
备注：交点处横坐标x由= x-a得x=。
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