【初中数学竞赛中的构造法分析】组合构造数学竞赛吧

时间：2019-02-13 03:18:34　来源：雅意学习网本文已影响人

　　什么是构造法？构造法是运用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得到解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法。那么又怎样去构造呢？其基本的方法是：用一类问题的性质，来确定另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己的思维。运用构造法对学生的解题能力的提高也是有帮助的。下面我们通过举例来说明如何通过构造法解题来训练学生的解题能力，如何去谋求最佳的解题途径，达到思想的创新的目的。
　　
　　1.构造方法
　　
　　有些数学题，经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答
　　
　　综上所述满足条件的x的值有：x=-1，x=2，x=2.
　　通过上面的例子，我们在解题的过程中要善于观察，善于发现，把要求解的问题转化为方程，构造一个方程进而用方程来求解。
　　
　　2.构造几何图形
　　
　　对于一些题目，我们可以构造所需的图形借助几何图形的性质来达到解题目的。
　　例3正数a，b，c，A，B，C满足a+A=b+B=c+C=K。试证：aB+bC+cA＜K2.
　　分析：拿到题目，我们会无从下手，题中只有一串等式，并没有其它什么附加条件，但我们再仔细地从题目条件中推敲一下，会发现题目中的字母的和相等且为一常数，也就是三个相等的量，我们能不能由此联想到一些什么呢？如果我们把这三个量放在一起来考虑，又会有怎样的结果呢？我们假设有这样的三条线段，它们的长分别为（a+A）、（b+B）、（c+C）。我们构造出一个这样的三角形（如图）PQR，其中的三边分别为（a+A）、（b+B）、（c+C）那么这与我们要求证的结果又有什么样的关系呢？
　　看结论中的不等式aB+bC+cA＜K2，它里面有三个因式的积aB、bC、cA它们不就是图中对应三角形的两条夹边的积吗？而K是正三角形PQR的边长，K2会不会与△PQR的面积有关呢？我们是不是可以用面积的计算来试一试呢？由面积公式可以得到
　　
　　
　　因此当sinC最大等于1时，（x+y）（y+z）有最小值为2。
　　这样我们运用构造法，把题目中难以入手的条件化成一个简单的几何问题，用面积的方法很轻松地解决了原本看似简单却没法下手去解决的问题，解决了同学们思维受阻的困惑，大大拓展了同学样的视野，很好地培养了同学们的创新思维能力。
　　
　　3.构造函数
　　
　　函数内容在我们中学数学中是占有相当的比重的，学生对于函数的性质也是比较熟悉的，选择用函数来解决一些棘手的问题，在某些情况下是比较方便的。
　　
　　要求方程｜x+1｜+｜x+2｜=x+3的解的个数就是要看两函数①、②图象交点的个数。画出函数图象可以看出有2个交点，即原方程有2个解。
　　这些数学题似乎与函数毫不相干，但是根据题目的特点，巧妙地构造一个函数，利用函数的性质得到了简捷的解题过程，从而培养学生的发散思维。
　　
　　4.构造(a±1)、（b±1）解竞赛题
　　
　　某些竞赛题，由其本身的数量关系，直接求解较繁或较难，但通过适当变形，构造出(a±1)、（b±1）据此可使有关问题的解法简捷、明快。
　　例7 试确定一切有理数r。使得关于x的方程rx2+（r+2）x+3r-2=0有根且只有整数根。
　　分析：初看题目，我们发现要求一切有理数r似乎无从下手，而正当我们再往下看时，会发现原方程有且只有整数根，也就是说我们要求的r是要让原方程有且只有整数根。首先是要有根，由原方程我们可以直接得出：r不同时，那原方程的最高次数也可能是不同的，当r=0时，x=1这显然是符合条件的；我们重点要讨论的就是r≠0时的情况，一元二次方程有根，即△=（r+2）2-4r（3r-2）≥0，且方程的根都是整数。这个条件的应用是解题的关键，我们可以设方程的整数根x1≤x2，如果我们把两根都求出来的话，这样做太累了。自然的，我们回想到用根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的表达式，再用这两者之间的关系来解题，这就方便多了。
　　解：分r=0和r≠0时，两种情况的讨论：
　　当r=0时，所给方程为2x-2=0有整数根x=1，
　　当r≠0时，所给方程为一元二次方程
　　设方程的两个整数根为x1、x2（x1≤x2）
　　
　　这道我们主要应用了根与系数的关系，在分析根与系数关系时构造了（a-1）（b-1）这样的一个式子来解决题目中的一系列问题的，在解题的过程中式子（a-1）（b-1）起到了串线、连接的作用，这点对题目的解决是至关重要的。
　　上述例子说明了，构造法解题有着意想不到的功效，不同的构造，有着不同的效果。我们可以构造方程，图形、函数，甚至其它，这样就会促使学生要熟悉几何、代数、三角等基本技能，并多方面加以综合利用，这对学生的多元思维，培养学习兴趣，以及钻研独创精神的发挥十分有利。因此，在解题教学时，若能启发学生从多角度，多渠道进行思考，有时能得到许多巧妙，新颖独特的解题方法而且还能加强学生对知识的理解，培养思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力。

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