中学数学中的重要思维模式_中学数学思维方法书籍
时间：2019-02-08 03:24:39 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 中学数学中最一般的思维模式有以下八种：逼近模式；叠加模式；变换模式；映射模式；方程（或函数）模式；交轨模式；退化模式；递归模式。实际解题时，需要根据问题的特点灵活地加以探索，才能使其成为解题者自己的经验。
关键词： 中学数学教学 思维模式 思维程序
美国数学教育家波利亚说：“如果你希望从自己的努力中，取得最大的收获，就要从已经解决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征。如果一种解题方法是你通过自己的努力而掌握的，或者是你从别处学来或听来并真正理解了的，那么这种解法就可以成为你的一种模式，即在解类似问题时可用作模仿的一种模式。”这种一般的数学思维模式的通用性是数学思维的基本定势，它们能够统率通常解题教学中所使用的问题分类法或具体的解题模式。
目前我国中学数学教学中存在着两种倾向，一种是偏向于题型的过细分类和具体解题方法的研究，另一种是过分地强调解题的发散思维而忽视定向思维的重要性。对中学数学中最一般的思维模式的研究就能对上述两种做法起到互补作用，从而克服解题教学中的片面性。
一般来讲，根据我国中学数学的内容，可以提出八种重要的思维模式：逼近模式；叠加模式；变换模式；映射模式；方程（或函数）模式；交轨模式；退化模式；递归模式。
这些模式的基本思想并不一定以明显的方式出现于数学教材中，多数情况下是隐含在数学知识或解题过程中，需要教师对教材进行钻研、分析、概括、提炼。
一、逼近模式
逼近模式是朝着目标推移前进，逐步沟通条件与结论之间的联系而使问题解决的思维方式。其思维程序是：
1.把问题归结为条件与结论之间因果关系的演绎；
2.选择适当的方向逐步逼近目标。
这里指的适当方向就是一些较具体的逼近模式，如正向逼近―顺推演绎法；逆向逼近―逆求分析法；双向逼近―分析综合法；反面逼近―反证法；模糊逼近―尝试探索法，等等。
二、叠加模式
叠加模式是运用化整为零、以分求和的思想对问题进行横向分解或纵向分解实施各个击破而使问题得到解决的思维方式。其思维程序是：
1.把问题归结为若干种并列情况的总和或者插入有关的环节构成一组问题；
2.处理各种特殊情况或解决各个小问题，将它们适当组合（叠加）而得到的一般解。
三、变换模式
变换模式是通过适当变更问题的表达形式使其由难化易、由繁化简，从而最终达到解决问题的思维形式。其思维程序是：
1.选择适当的变换，等价的或不等价的（加上约束条件），以改变问题的表达形式；
2.连续进行有关变换，注意整个过程的可控制性和变换的技巧，直至达到目标。
所谓等价变换，是指把原问题变更为新问题，是两者的形式互为充要条件。不等价变换则是指新问题扩大或缩小了原问题的允许范围。例如，由于实施了某种运算（乘方、开方、取对数等），形式地套用了某些法则，或者增加、减少了命题的条件，加强或减弱了命题的结论等都可能产生不等价的结果。
中学数学中的等价变换包括恒等变换和同解变换等。如数、式的恒等变形，方程与不等式的同解变形，几何图形的平移、对称、旋转等都属等价变换。不等价变换涉及的范围很广，需要具体问题具体分析。主要的控制方法是对变换过程进行充分性与必要性的分析，通过增加限制条件或补漏情况使其转化为等价过程。
中学数学中的一些具体变换模式有：恒等变形；代数换元法；同解变形；三角变换；三角换元法；万能替换；合同变换；相似变换；反演变换，等等。
四、映射模式
映射模式是把问题从一个领域映射到另一个领域，在另一个领域中获解后再反解回原领域使问题解决的思维方式。在映射模式下具体的一些模式有：
1.几何法――把数、式的问题归结为形的问题加以解决；
2.解析法――把几何问题归结为代数问题加以解决；
3.复数法与向量法――把数字问题转化为物理问题或其他学科问题加以解决。
其他如极坐标法、参数法等也属于映射模式的范畴。
五、方程模式
方程模式又称函数模式，是通过列方程（组）与解方程（组）来确定数学关系或解决问题的思维方式。方程模式是反映客观事物数量关系的一种重要的数学模型。它是沟通已知元素与未知元素之间的辩证联系的一种基本方法。其思维程序是：
1.把问题归结为确定一个或几个未知量；
2.列出已知量与未知量之间按条件必须成立的所有关系式即方程（组）；
3.解所得的方程（组），得出结果。
六、交轨模式
交轨模式是通过分离问题的条件以形成满足每个条件的未知元素的轨迹（集合），再通过叠加来确定未知元素而使问题解决的思维方式。交轨是一种特殊的叠加。通常的叠加是求集合的并集，而交轨的叠加是求集合的交集。
交轨模式的思维程序是：
1.把问题归结为去确定一个“点”――一个或几个未知元素，或一个几何点，或一个解析点，或某个式子的值，或某种量的关系等；
2.把问题条件分离成几个部分，使每一部分能确定所求点的一个轨迹（集合）；
3.用轨迹（或集合）的交集确定所求的“点”或未知元素，并由此得出问题的解。
七、退化模式
退化模式是运用联系转化的思想，将问题按适当方向后退到能看清关系或得出解法思路的地步，再以退求进来达到问题解决的思维方式。其思维程序是：
1.将问题从整体或局部上后退，化为较易解决的简化问题、类比问题或特殊问题等，而保持转化回原问题的联系通道；
2.用解决退化问题的思想方法，经适当变换以解决原问题。
八、递归模式
递归模式是通过确定序列的相邻各项之间的一般关系，以及初始值来确定通项或整个序列的思维方式。它适用于解决定义在自然数集上的一类函数，是解决数字问题的一种重要逻辑模式。其思维程序是：
1.得出序列的第一项或前几项；
2.找到一个或几个关系式，使序列的一般项和它相邻的若干项联系起来；
3.利用上面提到的关系式或通过变换求出更为基本的关系式，递推地求出序列的一般项或所有项。
递归关系通常指仅含有序列的后项与前若干项而无常数项的关系，如等差数列an=2an-1-an-2是递归关系，而an=an-1+a就不称为递归关系，而称之为递推关系，即递推关系可含常数项。
在递归模式范围，根据递推关系的典型模式是线性关系，分式关系或其他非线性关系，如根式关系、幂指关系等，又可分成一些具体的模式，这里不再一一介绍了。
以上所列的八种思维模式，它们之间是相容的并立，在每一思维模式下列举了属于其范围的一些具体模式或方法，实际解题时，特别是对于较复杂的问题，往往需要交错运用几种模式；或者对于同一问题可从不同角度运用不同的模式去解决；模式本身也有不同的适用范围，这些方面都需要根据问题的特点灵活地加以探索，才能使其成为解题者自己的经验。
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