由斐波那契数列看数学的内在联系|斐波那契数列第n项公式

时间：2019-02-08 03:21:43　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：斐波纳契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用，这个数列既是数学美的完美体现，又与许多数学概念有着密切的联系，很多看上去似乎彼此独立的数学概念，通过斐波那契数列，人们发现了其中的数学联系，从而进一步激发了人们探索数学的兴趣，对数学的认知更加系统化。
　　关键词：斐波那契数列数学内在联系三角形
　　
　　1.引言
　　许多数学分支从表面上来看似乎是相互独立，没有联系的，但只要仔细观察就能发现其中一些明显的联系，而发现和正确把握这些联系，能激发学生学习数学的兴趣，有助于学生产生一些数学联想，激发学生探求数学奥秘的欲望，构建系统的数学知识网。
　　斐波那契数列、杨辉三角、黄金分割、二项式定理、三角形三边关系定理……这些看似相对独立的概念，通过斐波那契数列，能够建立完美的数学知识网络。
　　2.由斐波那契数列构建数学联系
　　斐波那契数列是由数学家列昂纳多•斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170-1240）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年能繁殖多少兔子？我们不妨拿一对新出生的小兔子为例分析一下：成熟的一对兔子用记号表示，未成熟的用○表示。每一对成熟的兔子经过一个月变成本身的及新生的未成熟○。未成熟的一对○经过一个月变成成熟的，不过没有出生新兔，这样便可画出图1，可以看出六个月兔子的对数是1，2，3，5，8，13。很容易发现这个数列的特点：即从第三项起，每一项都等于前两项之和。所以按这个规律写下去，便可得出一年内兔子繁殖的对数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。可见一年内兔子共有233对。
　　上述例子中得到的每个月的兔子对数1，1，2，3，5，8……构成了一个数列，这个数列有十分明显的特点：从第三项开始，前面相邻两项之和构成了后一项，这个数列就是意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘全书》（Liber Abaci）中提出的，该数列的通项为：
　　a=1，a=1，a=a+a（n≥3）
　　2.1斐波那契数列、杨辉三角和二项展开式的联系
　　2.1.1斐波那契数列和杨辉三角的联系
　　杨辉三角也叫贾宪三角，在国外被称为帕斯卡三角。它有以下特点：
　　（1）每行数字左右对称。
　　（2）每个数字等于上一行的左右两个数字之和。（图2）
　　从杨辉三角的第一行的1向左下方作的斜线，之后作直线的平行线，将每条直线所过的数加起来（如图3），得：
　　把得到的这些数字组成一个数列：1，1，2，3，5，8……就是斐波那契数列。
　　2.1.2杨辉三角和二项展开式系数的联系
　　杨辉三角中的每个数其实都是组合数，第n行r+1个数是C=，对于更大的组合，就杨辉三角而言，只不过是乏味的延伸，但它却能应用于二项展开式，其中包含了二项展开式（a+b）的系数。比如，要找出（a+b）的各项的系数，只要看对应的杨辉三角的第5行，从该行中，我们可以找到1，4，6，4，1，这正是我们要找的系数，即：（a+b）=1a+4ab+6ab+4ab+b。所以，杨辉三角的各行也可以写成：
　　2.2斐波那契数列与黄金分割的联系
　　对于斐波那契数列来讲，它的特征是:a=1，a=1，a=a+a（n≥3），后人通过迭代法求出其通项为：a=-，正整数数列居然可以用无理数来表示，这是一个惊人的结果，我们用该数列的后项除以前项，组成一个新的数列，即：b=，b=，b=，b=，b=，…，b=，…，即：1，2，1.5，1.6，1.625，…，该数列的每一项或稍大或稍小于黄金平均值，事实上，该数列的极限为（-1）≈1.618，这便与几何学的珍宝“黄金分割”联系起来，这也是黄金矩形的比，这种联系暗示了在哪里出现黄金比或黄金矩形，哪里就会出现斐波那契数列，反之亦然。
　　2.3斐波那契数列与三角形三边关系定理的联系
　　我们通过一个例子来简述斐波那契数列与三角形三边关系定理的联系。
　　例：现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），且每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？
　　分析：根据三角形三边关系定理，要构成一个三角形的充要条件是两边之和大于第三边，所以不能拼成三角形的充要条件是任意两边之和应大于或者小于第三边。由于题目要求每段的长度不能小于1cm，因此根据题目要求可以先截取2个1cm的铁丝，为了不拼成三角形，所以第三段截取2cm（为了使最大，所以要使剩下的铁丝尽可能长，后面截取的每一段总是前面相邻两段之和）。以此类推，依次截取的长度为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，这些数字为斐波那契数列的前10项，和为143，与144相差1，因此最后一段可以截取56cm，这时达到最大为10。
　　我们看到题目中的一个条件“每段的长度不小于1cm”起到了关键的作用，正是这个条件产生了斐波那契数列，也正是这个条件使得三角形三边关系定理与斐波那契数列产生了联系。
　　3.关于数学内在联系的几点思考
　　3.1知识之间总是上下沟通的，互相联系的，要使知识系统化、完整化，就必须在学生的头脑中建立一个完整的认识结构，学生学习掌握新知识，都是建立在已经掌握的旧知识的基础上。因此把握好数学知识之间的内在联系，可以使学生在学习过程中产生正迁移，把已掌握的某些知识准确、灵活地运用到学习新知识或者解决新问题的过程中去，以收到触类旁通、举一反三的效果。
　　3.2数学知识之间的内在联系也体现了数学文化。每个民族都有自己的文化，也就一定有属于这个文化的数学。按照福来登塔尔的现实教育思想，数学来源于生活，存在于现实，并且实现于现实，应该从情境出发让学生自己发现数学概念和解决数学方法，正是这种思想是的欧拉在散步的过程中发现了七桥问题，斐波那契在兔子的繁殖问题中发现了斐波那契数列，而中国数学强调实用的管理数学，却在算法上得到了长足的发展，祖冲之的圆周率计算、杨辉三角那样的精致计算课题，只可能在中国诞生。数学知识之间的内在联系，使得学生能够从联系中了解不同的文化背景，真正地了解数学文化。
　　3.3数学的内在联系可以引导学生积极地反思数学学习。数学学习的过程是知识的同化和迁移的过程，反思是同化和迁移的核心步骤，学生通过反思可以挖掘知识之间的内在联系，促进知识的同化和迁移，有利于帮助学生建立合理的知识结构和体系。目前数学教学中最薄弱的环节正是数学的反思性学习这一环节，正所谓学之道在于“悟”，只有学生自己的领悟才能获得理解，而领悟的关键就在于反思。
　　3.4把握知识之间的内在联系，可以完善认知结构，培养学生数学想象能力和创新思维。数学的各个概念、命题之间存在着各种各样的联系，这些内在联系是数学想象的客观基础。而创新能力的培养，需要学生对于给定的数学问题，能够在以前不相关联的数学思维之间建立起一种联系，能够对学习的新知识进行再发现，对已有知识进行独特的应用，能够发现问题、提出问题、敢于质疑、敢于发表不同的看法，从而找出问题的独特新颖的解法。
　　总之，数学知识体系不是一个个概念，一块块知识的简单堆砌，而是有内在联系的一个逻辑结构系统。只有把握数学知识的内在联系，才有利于学生把数学知识结构内化为自己的认识结构，发展学生的思维并促进学生科学世界观的形成。
　　
　　参考文献：
　　［1］张维忠.数学课程与数学研究［M］.杭州：浙江大学出版社，2008.8.
　　［2］吴维煊.由杨辉三角构建的数学联系［J］.数学教学研究，2010.2:54-57.
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