对数运算法则_如何打掉对数运算中的三个“拦路虎”
时间：2018-12-25 03:37:50 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
观察对数运算性质的结构不难发现有以下三个特点：①底数相同；②真数是积、商、幂的形式；③可求同底数的两对数的和与差，但在实际运算中却时常遇到底数不同、真数是和或差的形式、求两同底数的两对数的积或商的情况，如何打掉这三个“拦路虎”呢？
一、底数不同
克服底数不同的困难主要有三种手段：（1）应用换底公式把不同底的对数都统一成相同底数；（2）把不同底的两对数log b与log d分别看成函数f(x)=log x与g(x)=log x的函数值，在同一坐标系中画出两函数的图像，利用数形结合的思想来研究；（3）利用对数和指数的相互转化关系把对数问题转化到指数问题上来解决。
例：若log 5＜log 5＜0，则（?摇?摇）
A.0＜a＜b＜1?摇?摇?摇B.0＜b＜a＜1?摇?摇?摇C.a＞b＞1?摇?摇?摇D.b＞a＞1
分析一：log 5与log 5是不同底的对数，无法应用运算性质来变形，可以用换底公式来统一成同底数的对数，这里不妨换成以10为底的对数。
解：∵log 5＜log 5＜0，∴ ＜ ＜0，∵lg5＞0，∴ ＜ ＜0
去分母可得lgb＜lga＜0，再把0变成以10为底的对数，则lgb＜lga＜lg1，所以0＜b＜a＜1。
分析二：由于log 5与log 5分别是函数f（x）=log x与g（x）=log x，当x=5的函数值，可以考虑在同一坐标系中画出它们的图像。
解：令f（x）=log x与g（x）=log x，因为log 5＜log 5＜0，所以点（5，log 5）、（5，log 5）都在x轴下方，且点（5，log 5）比点（5，log 5）要低，根据这两个关键点可以画出这两个对数函数的草图，如图所示，根据同一坐标系中不同底数的对数函数图像的分布特点（在第一象限内图越往右底越大）可以得出0＜b＜a＜1。
分析三：可以根据对数式与指数式的关系把这个对数问题转化成指数问题来解决。
解：令log 5=m，log 5=n，所以，a =5，b =5，m＜n＜0，显然点（m，5）与（n，5）分别是指数函数y=a 与y=b 上的在y轴左侧的点，且点（m，5）在点（n，5）的左边，我们可以画出这两个函数的草图，如图所示。根据同一坐标系中不同底数的指数函数图像的分布特点（在第一象限内图越往上底越大）可以得出0＜b＜a＜1。
二、真数是和差的形式
面对真数是和差的形式时，主要有两种处理方法:（1）把和差看成整体来对待;（2）从和差运算中变出积或商，从而应用运算性质来解决。
例2：判断f（x）=lg（x+ ）的单调性。
分析一：f（x）与f（-x）的真数都是和差的形式，在对数的运算性质中无法处理这种情况，我们可以考虑把真数中的和或差看成整体来解决。
解：因为 ＞｜x｜≥-x，所以原函数的定义域是R，对任意x∈R，
f（-x）+f（x）=lg（-x+ ）+lg（x+ ）=lg1=0，
所以原函数是奇函数。
分析二：对于f（-x）=lg（-x+ ），真数是差，我们可以通过分子有理化的手段把真数变成商的形式。
解：因为定义域为R，对任意x∈R，
f（-x）=lg（-x+ =lg =-lg（x+ ）=-f（x），
所以原函数是奇函数。
三、计算同底数的两对数的积或商
对数的运算性质对同底数的两对数相乘或相除是根本无法解决的，解决此类问题的基本方法是化各对数为和差的形式，各个击破以后再去寻找突破口。
例3：求值lg5lg20+lg 2
分析：利用对数运算性质无法直接计算式子中的lg5lg20与lg 2，我们可以考虑把其中的5与20看成积或商的形式，从而就可应用对数运算性质来计算。
解：lg5lg20+lg 2=lg •lg（2×10）+lg 2=（1-lg2）（1+lg2）+lg 2=1。
点评：在把对数各个“击破”时，要遵循变形后出现的未知对数越少越好的原则。在遵循这个原则的前提下，变形的方向可能会有多个，比如本例在把5与20看成积或商的形式时，是以2和底数10为目标进行变形，当然也可以以5和底数10为目标去变。
在对数运算中，遇到困难并不可怕，可怕的是遇到困难没有合适的方法去解决，只有真正掌握好以上常见问题的解决方法，我们才能克服困难、提高运算能力！
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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