[回归课本培养学生的解题能力]我怎样解题 单樽
时间：2020-02-23 07:31:26 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
课本是中学数学教学的依据，是高考命题的源泉，而例（习）题是教材的重要组成部分，这些例（习）题是编者从茫茫题海中经过反复筛选、精心选择出来的，是学生掌握双基的重要来源，也是教师传授知识的纽带，它蕴含着丰富的教学功能，处理好例（习）题的教学，对教学质量大面积的提高、学生智力的发展、解题能力的培养都是至关重要的.�
1� 引申拓广，培养解题的发散性�
教学中，若对一些典型的例、习题进行变式处理，如改变原题的条件、结论、方法或逆向思维、反例分析等，即可以在一题多解过程中，使得学生在知识及方法的纵横方向分别得以拓广和延伸，培养学生的发散性思维.�
例1 1数学必修（4）�P�122第3题证明：对任意a,b,c,d∈R，�
恒有不等式(ac＋bd)��2�≤(a��2�＋b��2�) (c��2�＋d��2�)（1）�
先让学生推证，发现他们用比较法、综合法、反证法、放缩法都可以得到证明.此时进一步追问：能否有更新颖的证法呢？引导学生抓住“a��2�＋b��2�”、“c��2�＋d��2�”、“ac＋bd”的结构特征，因此可考虑用构造法证明.�
证法1 （向量法）�
构造向量u＝(a，b),v＝(c，d),u•v＝|u||v|�cos�θ（其中θ为向量u与 v夹角）则ac＋bd＝a�2+b�2•c�2+d�2�cos�θ,(ac＋bd)��2�＝(a��2�＋b��2�)(c��2�＋d��2�)�cos���2�θ≤(a��2�＋b��2�)(c��2�＋d��2�)�
证法2 （构造三角形）利用“三角形的两边之和大于第三边”（上图中OBCA为平行四边形）由|OA|＋|OB|＞|AB|及|OA|＋|OB|＞|OC|，不等式(1)迅速得证.�
由解法一不少学生都能发现a与b，c与d可交换位置.�
［变1］求证：(a��2�＋b��2�)(c��2�＋d��2�)≥(ad＋bc) �2(2)�
［变2］(1)式两边开方可否？求证：a�2+b�2c�2+d�2≥|ac＋bd|(3)�
［变3］(3)式右边去掉绝对值可否？求证：a�2+b�2c�2+d�2≥ac＋bd(4)�
对于(1)式能否有更深刻的变化呢？将不等式(1)字母分别排序，得�
(a�2�1＋a�2�2)(b�2�1＋b�2�2)≥(a��1�b��1�＋a��2�b��2�)�2(5)�
通过分析知道，可以按字母增加的方向演变.�
［变4］设a��1�、a��2�、a��3�、b��1�、b��2�、b��3�∈R，�
求证：(a�2�1＋a�2�2＋a�2�3)(b�2�1＋b�2�2＋b�2�3)≥(a��1�b��1�＋a��2�b��2�＋a��3�b��3�)�2(6)�
此时，利用学生的连续思维所产生的思维惯性，教师因势利导，把问题推广.�
设a��i�,b��i�∈R(i＝1,2……n)，则�
(a�2�1＋a�2�2＋…＋a�2�n)(b�2�1＋b�2�2＋…＋b�2�n)≥(a��1�b��1�＋a��2�b��2�＋…＋a��n�b��n�)�2�
（当且仅当a��i�＝kb��i�时，取“＝”号）�
这是一个重要的定理，叫柯西不等式.不等式(5)、(6)即柯西不等式当n＝2和 n＝3时的特例.如此层层推进，使结论更加完美，更具有普遍性.�
上述对原题从不同角度进行演变和多解，这样从一题多变到一题多解，使知识横向联系，纵向深入，拓宽了学生的思路，培养了学生解题的发散性.�
2. 融会贯通，培养解题的灵活性�
数学中有很多知识是相互联系的，现行新教材特别注意用联系的观点处理问题，课本中例、习题为我们提供了充足的素材和广阔的空间.因此，在教学中充分利用课本例、习题之间相互联系、互相作用、互相影响这一规律，引导学生串通教材，做到融会贯通，开阔学生的视野，增强学生思维的灵活性.如研究空间面面关系，线面关系，线线关系时经常要用到转化思想方法来解题，通常有关线面平行、垂直的问题可转化为线线平行、垂直的问题，而有关面面平行、垂直的问题可转化为线面平行、垂直的问题.�
例2 数学必修(2)�P�72例3，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B任意一点，求证:平面PAC⊥平面PBC.�
证明：�PA⊥平面ABC�
BC�平面ABC�PA⊥BC�
AC⊥BC�
�BC⊥平面PAC�
BC�平面PBC�
面PAC⊥平面PBC�
这是一个典型的通过线线垂直去证线面垂直再去证面面垂直的例子，这样解剖一例串通一片，揭示了问题的本质，勾通了内在联系，使学生学过的知识结构化，系统化，学生的思维灵活性得到有效激活.�
3. 标新立异，培养解题的创造性�
例、习题教学中，在学生掌握基本方法的同时，应有意识地创设新活的思维情境，激励学生不依常规、不受教材与教师传授的方法的束缚，引导学生多角度、全方位地思考问题，鼓励学生标新立异、探究新解，达到开拓学生思维、锻炼学生思维创造的目的.�
例3 数学必修(4)�P�111例7，已知A（-1，-1），B（1，3），C(2,5)试判断A、B、C三点之间的位置关系.�
这是一道基本题，但应要求学生尽可能多地进行多方位、多层次的联系，寻求不同解法，如一些学生仅想到一些常规解法：�
（1） 证明|AB|＋|BC|＝|AC|；（2） 证明点B在直线AC上；（3） 证明直线AB、AC的方程相同或斜率相等.而有一些同学，联想宽广深刻，不但有上述解法，还得到了如下的非常规解法；（4） 证明点C到直线AB的距离为0；（5） 证明△ABC的面积等于零；（6） 证明点B是有向线段AC的一个定比分点，显然后者的解法较之于前者，更难想到，更独到，因而更具有创新性，有利于培养解题的广泛性、创造性�
4. 联想转化，培养解题的广阔性�
数学是一个具有内在联系的有机整体，不同分支，不同部分都是相互联系、相互渗透的，解题方法、解题思路更是如此，因而，在课本例、习题的教学中应有意识地教给学生类比、联想、转化的方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力，促进知识的正向迁移，培养解题的广阔性.�
例4 高中数学必修第二册（上）29页例1已知a�2+b�2=1,x�2+y�2=1.求证：ax+by≤1.�
分析1 用比较法.本题只要证1-(ax+by)≥0.为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决.�
证法1 ∵1-(ax+by)=12(1+1)-(ax+by)=12(a�2+b�2+x�2+y�2)-(ax+by)�
=12［(a�2-2ax+x�2)+(b�2-2by+y�2)］�
=12［(a-x)�2+(b-y)�2］≥0,�
∴ax+by≤1.�
分析2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论.从而证明原结论正确.分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件.因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范.�
证法2 要证ax+by≤1.只需证1-(ax+by)≥0,�
即2-2(ax+by)≥0,�
因为a�2+b�2=1,x�2+y�2=1.所以只需证(a�2+b�2+x�2+y�2)-2(ax+by)≥0,�
即(a-x)�2+(b-y)�2≥0.�
因为最后的不等式成立，且步步可逆.所以原不等式成立.�
分析3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）�
证法3 ∵ax≤a�2+x�22,by≤b�2+y�22.∴ax+by≤a�2+x�22+b�2+y�22=1.�
即ax+by≤1.�
分析4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便.�
证法4 ∵a�2+b�2=1,x�2+y�2=1,�
∴可设a=�sin�α,b=�cos�α.x=�sin�β,y=�cos�β�
∴ax+by=�sin�α�sin�β+�cos�α�cos�β=�cos�(α-β)≤1,�
分析5 数形结合法：由于条件x�2+y�2=1可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而ax+by=ax+bya�2+b�2.联系到点到直线距离公式，可得下面证法.�
证法5 如图,因为直线l:ax+by=0经过圆x�2+y�2=1的圆心O，所以圆上任意一点M(x,y)到直线ax+by=0的距离都小于或等于圆半径1，�
即d=｜ax+by｜a�2+b�2=｜ax+by｜≤1�ax+by≤1.�
简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法.除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法.可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择.�
5 结束语�
综上所述，课本是教学之本，深挖教材的潜力，充分发挥教材的自身作用，处理好课本例、习题的教学十分重要.立足课本，对课本典型例、习题进行演变、探究、引申、拓广、应用，由点到面，由题及类，解剖一例，带活一串，注意数学思想方法的渗透，这样教学，深化了基础知识，培养了思维品质，发展了思维能力，这正是我们所要追求的目标.�
参考文献�
［1］罗增儒.数学解题学引论［�M�］.西安：陕西师范大学出版社，2008�
［2］人民教育出版社中学数学室.普通高中课程标准（实验）教科书.数学1�5（必修�A�版）［�M�］.北京：人民教育出版社，2004�
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