[题海拾贝之不等式证明及最值] 不等式证明题
时间：2020-02-23 07:25:03 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
一、知识与方法 1．常用基本不等式： （1）若a,b∈R,则a2≥0,|a|≥0,(a±b)2≥0,a2±ab+b2≥0. （2）若a,b,c∈R,则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号），a2+b22≥a+b22≥ab（当且仅当a=b时取等号），a2+b2+c2≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c等号成立）等．
（3）若a,b∈R+，则21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22（当且仅当a=b时等号成立）．
（4）均值不等式：若ai∈R+,n∈N*，则∑ni=1ai≥n・n∏ni=1ai（当且仅当a1=a2=…=an时等号成立），特别地，当a,x∈R+时，x+ax≥2a．
2．证明不等式的常用方法：(1)比较法：①作差比较，②作商比较;(2)分析与综合法；（3）反证法；（4）放缩法；（5）代换法；（6）构造法等.
3．运用均值不等式求最值及证明不等式要点：一正二定三相等．
4．不等式问题中常见的基本思想方法：（1）分类讨论，（2）函数与方程，（3）转化与化归，（4）特殊与一般，（5）数形结合．
二、例题精析
例1 （人教版（第二册・上）第33页B组・第3题）已知 a＞b＞0，求a2+16b(a－b)的最小值．
分析：本题条件精练，这里求最值应联想二元均值不等式，根据最值原理“定积和最小”，但a2与16b（a－b）之积不是定值，注意到16b（a－b）的分母b（a－b）中恰有b与（a－b）的和等于a，使其中一个量b消失，因此有b（a－b）≤b+（a－b）22=a24，从而将a2+16b（a－b）缩小为a2+64a2，正好有a・8a=8，满足最值原理，达到求最小值的目的，余下的工作是确定取最小值的条件，即取最小值时的a,b值．
解：∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴b（a－b）≤b+（a－b）22=a24，∴a2+16b（a－b）≥a2+ 16 a24=a2+16a2=a2+8a2≥2・a・8a=16，
当且仅当b=a－b,
a=8a,即a=22,
b=2时取最小值．
故a2+16ba－b的最小值为16．
例2（人教版（第二册・上）第13页例3） 已知a,b是正数，且a≠b，求证a3+b3＞a2b+ab2．
分析一：不等式两边是具有对称结构的多项式，因而两边作差，再分解因式确立不等式的正确性．
证法一：见教材．
分析二：a,b是正数，构造函数fx=x，gx=x2，易知两函数在0,+∞上同为增函数，故(a－b)与(a2－b2)同号，∴a－ba2－b2＞0,
即a3+b3＞a2b+ab2．
证法二：令fx=x,gx=x2，在0,+∞上fx,gx均为增函数，则fa－fb与ga－gb同号，∴ a－ba2－b2=fa－fbga－gb＞0,
∴a－ba2－b2=［fa－fb］［ga－gb］＞0，∴a3－ab2－a2b+b3＞0，
即a3+b3＞a2b+ab2．
三、例题拓展与演变
1．确定解题思路：对于例1，不存在“定和”与“定积”，其关键是消元．通过观察，转化化归为运用不等式ab≤a+b22将二元不等式化为一元不等式，再使用a2+b2≥2ab最终达到目的；关于例2，作差比较是通法，证法二本质上是在证法一的基础上产生的，但构造函数为不等式推广预留较为充足的空间．
2．注意所应用的各不等式取等号的条件，严格遵循应用均值不等式的“三步曲”，否则，可能出错，在应用基本不等式求最值无效的时候，需及时调整思路和方法，寻找有利解题策略．
3．在求最值及不等式证明的过程中，必须对各种基本不等式及其变式非常熟练，并且能灵活应用，这是准确解决不等式证明以及求不等式最值问题的先决条件．
4．演变 ：分别对例1和例2加以演变，供读者参考.
（Ⅰ）例1的演变
（1）改变系数
① 设p是正常数，a＞pb＞0，求a2+16ba－pb的最小值．
解：∵ ba－pb=1p・pba－pb≤1ppb+a－pb22=a24p，∴ a2+16ba－pb≥a2+ 16 a24p=a2+64pa2≥2a2・64pa2=16p，当且仅当pb=a－pb,
a2=64pa2,即a4=64p,
b=a2p, 也即a=2・44p,
b=44pp时，该式取最小值16p．
② 设p是正常数，pa＞b＞0,求a2+16bpa－b的最小值．
解：∵ bpa－b≤b+pa－b22=p2a24，
∴ a2+16bpa－b≥a2+64p2a2=a2+8pa2≥2・a・8pa=16p，当且仅当b=pa－b,
a=8pa, 即a2=8p,
b=pa2，也即a=22pp，
b=2p时，该式取最小值16p．
③ 设p,q是正常数，a＞b＞0，求pa2+qba－b的最小值．
解：∵ ba－b≤b+a－b22=a24，∴ pa2+qba－b≥pa2+ q a24=pa2+4qa2≥2pa2・4qa2=4pq，当且仅当b=a－b,
pa2=4qa2，即b=12a，
a=44qp， 也即 a=44p3qp，
b=44p3q2p 时，该式取最小值4pq．
（2）改变指数
① 设a＞b＞0，k∈N*,求 ak+16ba－b的最小值．
解：∵ ba－b≤b+a－b22=a24，
∴ ak+16ba－b≥ak+64a2
=ak2+ak2+64k・a2+64k・a2+…+64k・a2k
≥k+2・k+2ak2・ak2・64k・a2・64k・a2・…64k・a2k
=k+2・k+2a2k4・64kkk・a2k
=(k+2)k・k+264k・k24
=(k+2)k・k+222(3k－1)・k2，
当且仅当b=a－b,
ak2=64ka2,即a=k+2128k,
b=k+2128k2时，该式取最小值(k+2)k・k+222(3k－1)・k2．
② 设a＞b＞0，k∈N*,k≥2，求ka+16ba－b的最小值．
解：因为ka+16ba－b≥ka+64a2，
则可令ka=t，所以a=tk，
从而ka+16ba－b≥ka+64a2=t+64t2k
=t2k+t2k+…+t2k2k+64t2k
≥2k+1・2k+1t2k・t2k・…・t2k2k・64t2k
=2k+1・2k+1642k2k=2k+12k・2k+1128k，
当且仅当b=a－b，
t2k=64t2k，即a=2b，
t=ka=2k+1128k，亦即a=2k+1128kkk，
b=2k+1128kkk2时，该式取最小值，且最小值为2k+12k・2k+1128k．
③设a＞bk＞0,k∈N*,k≥2,求a2+16bka－b的最小值．
解：a2+16bka－b≥a2+16b+ka－b22
=a2+64ka2.
令ka2=t,则a2=tk，a2+16bka－b≥tk+64t=tk+64kt+64kt+…+64ktk≥k+1・k+1tk・64kktk=k+1・k+164kkk=k+1k・k+164k・k,
当且仅当b=ka－b,
tk=64kt,即2b=ka,
ka2=k+164k,亦即a=2(k+1)(64k)k=2（k+1）64k・kk+2k，
b=ka2=2(k+1)64・k2k+12k时，该式取最小值k+1k・k+164k・k．
（3）改变结构
设a＞b＞0,m≥0,求a2+16b(a－b)+m2的最小值．
解：a2+16b(a－b)+m2≥a2+16b+(a－b)22+m2=a2+64a2+m2≥16+m2≥16，当且仅当 b=a－b，
a=8a，
m=0， 即a=22，
b=2，
m=0 时，该式取最小值16．
（4）改变变量
设α∈π4，π2，求sin2α+425cosαsinα－cosα的最小值．
解：∵ α∈π4，π2，∴ sinα＞cosα,
∴ cosαsinα－cosα≤sin2α4，
∴ sin2α+425cosαsinα－cosα≥sin2α+1625sin2α=sin2α+45sinα2≥2・sinα・45sinα=85，当且仅当 cosα=sinα－cosα，
sinα=45sinα，即tanα=2,也即α=arctan2时，该式取最小值85．
（Ⅱ）例2的演变
（1）若a,b∈R+,n∈N*,k∈N*,k≤n,则 an+bn≥an－kbk+akbn－k．
证明此略，可仿例2证法一可得．
（2）若a,b,n,k∈R+，且n＞k，则an+bn≥an－kbk+akbn－k．
（3）若a,b∈R+，n,k∈R－,且n （4）若a,b∈R+，k∈R－，且n＞k，则an+bn≤an－kbk+akbn－k．
（5）若a,b,k∈R+，且n 说明：（2）（3）（4）（5）的证明可仿例2证法二，构造幂函数fx=xk,gx=xn－k，应用f（x），g（x）的单调性化归为ak－bk与an－k－bn－k同号和异号问题，这里略去．
（6）若a,b∈R+,n∈N*,则
an+bn≥2・（a+b2）n.
解：由（1），对�k∈N*，有an+bn≥an－kbk+akbn－k，Ckn（an+bn）≥Ckn（an－kbk+akbn－k）（k=0,1,…,n），将以上n+1个不等式相加，得
∑nk=0Ckn（an+bn）≥∑nk=0Ckn（an－kbk+akbn－k），从而有（an+bn）・∑nk=0Ckn≥∑nk=0Ckn・an－kbk+∑nk=0Ckn・akbn－k，即2n（an+bn）≥2（a+b）n，也即有an+bn≥2・（a+b2）n成立．
四、练习
1．（2005年河南省数学竞赛（高二）试题）设a＞b＞0，则a3+12b（a－b）的最小值是_____________.
2．（2006年全国高中数学联赛河南省预赛（高二）试题）设a＞b＞0,则 a4+32b（a－b）的最小值是__________.
3．（2010年四川卷第12题）设a＞b＞c＞0,则2a2+1ab+1a（a－b）－10ac+25c2的最小值是（ ）.
(A)2 (B)4
(C)25 (D)5
4．（2010年辽宁卷第24题）已知a,b,c是正数，证明：a2+b2+c2+（1a+1b+1c）2≥63，并确定a,b,c为何值时等号成立．
5．（2004年湖南卷第7题）设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）.
（A）a+b1a+1b≥4
(B)a3+b3≥2ab
（C）a2+b2+2≥2a+2b
（D）a－b≥a－b
6．(2009年江苏卷第21D题)设a≥b＞0，求证：3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
7．（2010年江苏卷第21D题）a,b是非负实数，求证：a3+b3≥aba2+b2.
参考答案
1．20.a3+12ba－b≥a3+48a2=a32+a32+16a2+16a2+16a2≥5・5a32・a32・16a2・16a2・16a2=5・5210=5・22=20，当且仅当 b=a－b，
a33=16a2，即 a=532=2，
b=5322=1 时，该式取最小值20．
2．48.a4+32ba－b≥a4+128a2≥a4+64a2+64a2
≥3・3a4・64a2・64a2=3・24=48，当且仅当b=a－b，
a4=64a2， 即 a=2，
b=1时，该式取最小值48.
3． B.2a2+1ab+1aa－b－10ac+25c2
=a2+a－b+baba－b+a－5c2
=a2+aaba－b+a－5c2
=a2+1ba－b+a－5c2
≥a2+4a2+a－5c2
≥2a・2a+a－5c2≥4，
当且仅当 b=a－b，
a=2a，
a=5c， 即 a=2，
b=22，
c=25 时，该式取最小值4．选B.
4．证明：原不等式左边=a2+b2+c2+1a2+1b2+1c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+121a2+1b2+
1b2+1c2+1c2+1a2+2ab+2bc+2ca≥a2+b2+c2+122ab+2bc+2ca+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+31ab+1bc+1ca≥a2+b2+c2+32a2+b2+2b2+c2
+2c2+a2=a2+b22+6a2+b2+b2+c22+6b2+c2
+c2+a22+6c2+a2≥23+23+23=63，当且仅当a=b=c及a2+b22=6a2+b2，b2+c22=6b2+c2，c2+a22=6c2+a2，即a=b=c=43时等号成立．
5．a3+b3≥a2b+ab2=aba+b，在题设条件下既无a+b≥2也无a+b≤2，因此选B.
6．证明：a3+b3≥a2b+ab2，a≥b＞0，则a3≥a2b，3a3+2b3=a3+2（a3+b3）≥a2b+2（a2b+ab2）=3a2b+2ab2．
7．证法一：a3+b3≥aba2+b2�（a3+b3）2≥ab（a2+b2）2�a6+b6+2a3b3≥ab（a4+b4+2a2b2）�a6+b6≥a5b+ab5，显然成立．
证法二：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
=12(a+b)［(a2+b2)+(a-b)2］
≥12(a+b)(a2+b2)≥ab(a2+b2)，当且仅当a=b时等号同时成立.
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