欧拉操作在平直折叠中的应用_欧拉r1和小蚂蚁哪个好

时间：2019-04-08 03:17:39　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：基于实体几何模型的半边表示法，设计纸折叠的计算模型。该计算模型包括当前纸态的几何与拓扑数据结构，并结合图形学和计算几何中的基本算法实现纸的折叠。在折叠的过程中，对应的顶点、边、面和折痕都发生了变化，并且符合欧拉示性数。因此，可以使用的欧拉操作来实现纸折叠的过程。
　　关键词：计算模型折叠的性质欧拉操作
　　1、折叠中纸态的性质
　　纸态[1](paper configuration)是指初始纸张(初始纸态)经过折叠所能达到的所有状态。纸态是一个特殊的几何实体，是纸面以及它们之间拓扑邻接关系的集合。
　　1.1 纸飞机3个状态的平面几何图
　　图1.1是纸由初始状态进行3次折叠后的平面图。该状态由5纸面，16条边， 4条折痕，16个顶点构成。
　　在折叠操作中纸态的性质：V-E+F-C=F0。其中F0是初始纸态包含的纸面的个数F0=1；C是当前纸态折痕的数目，多个纸面具有相同折痕的情况下，应该将其数目累加；V为当前纸态的顶点个数；E为当前纸态包含的边的个数(包括折痕在内的所有边)；F为当前纸态所包含的纸面的个数。初始纸态中V=4、E=4、F=1、C=0、F0=1即V-E+F-C=F0成立；一次折叠F1中V=8、E=8、F=2、C=1、即V-E+F-C=F0=1；二次折叠F2中V=11、E=11、F=3、C=2即V-E+F-C=F0=1成立；三次折叠F3中V=16、E=16、F=5、C=4即V-E+F-C=F0成立。
　　我们采用数学归纳法可以证明：V-E+F-C=F0成立。即折叠中纸态的性质。
　　在代数拓扑中，欧拉示性数[2](Euler characteristic)是一个拓扑不变量(事实上，是同伦不变量)，对于一大类拓扑空间有定义。它通常记作χ。
　　二维拓扑多面体的欧拉示性数可以用以下公式计算：
　　χ = V - E + F
　　(1.1)其中F、E和V分别是纸面、边和顶点的个数。最为常用的欧拉操作是：
　　(1) mvsf(v, f)，生成含有一个点的面，并且构成一个新的体。
　　(2) kvsf，删除一个体，该体仅含有一个点的面。
　　(3) mev(v1, v2, e)，生成一个新的点v2，连接该点到已有的点v1，构成一条新的边。
　　(4) kev(e, v)，删除一条边e和该边的一个端点v。
　　(5) mef(v1, v2, f1, f2, e)，连接面f1上的两个点v1、v2，生成一条新的边e，并产生一个新的面。
　　(6) kef(e)，删除一条边e和该边的一个邻面f。
　　(7) semv(e1, v, e2)，将边e1分割成两段，生成一个新的点v和一条新的边e2。
　　(8) jekv(e1, e2)，合并两条相邻的边e1、e2，删除它们的公共端点。
　　(9) kemr(e)，删除一条边e，生成该边某一邻面上的一新的内环。
　　(10) mekr(v1, v2, e)，连接两个点v1、v2，生成一条新的边e，并删除掉v1和v2所在面上的一个内环。
　　(11) kfmrh(f1, f2)，删除与面f1相接触的一个面f2，生成面f1上的一个内环，并形成体上的一个通孔。
　　(12) mfkrh(f1, f2)，删除面f1上的一个内环，生成一个新的面f2，由此也删除了体上的一个通孔。
　　可以证明：欧拉操作是有效的，即欧拉操作对形体操作的结果在物理上是可实现的；折叠中纸态的性质给出了纸态的顶点、边、折痕、纸面的数目之间的关系，在对纸态的结构进行修改时，必须要保证这个公式成立，才能够保证纸态的有效性。由于不涉及内环，我们只使用了其中的8个欧拉操作。
　　2、结论
　　本文研究了在折纸过程中折叠的性质。通过举例，得出折叠过程中纸态的顶点、边、纸面、折痕符合V-E+F-C=F0的关系式，即他们的运算值是一个欧拉示性数。因此，就可以使用欧拉操作来实现折叠的过程。
　　参考文献：
　　[1]Erik D D，Martin L D. Recent Results in Computational Origami[D]. Waterloo: University of Waterloo, 1998 .
　　[2]田载今, 李海东. 浅谈欧拉公式的来源和欧拉示性数[J]. 中小学教材教学, 2003, 18.

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