教你五招必杀技,应对解析综合题:初三数学综合题解析
时间：2019-01-07 03:31:41 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
解析几何综合题是高考命题的重点内容之一，此类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等内容，涉及到的知识点较多，对解题能力的考查层次要求较高。考生在解答时，普遍感到困难，常常是无从下手或半途而废。本文针对学生现状，传授五招必杀技，旨在帮助考生跳过解析几何综合题的门槛。
第一招：细心审题，多方转化。
解析几何综合题一般条件较多，牵涉到的知识面广，考生初读题目，常感希望渺茫，找不到出路。考生需要练的第一招便是在“审”字上下功夫，这是解题的关键。在审题理解题意时，要先将题设中的主要条件特别是一些隐含条件挖掘出来，然后根据题目目标及不同用途再转化成相应代数形式，这样在解题时就不会“无从下手”，思路较易形成。
例1.如图1，过椭圆C：+=1上一点P向圆O：x+y=4引两条切线PA、PB，A、B为切点，若・=0，求点P的坐标.
解析：本题主要条件有：（1）点P在椭圆C上；（2）PA、PB是圆O切线；（3）・=0.设P（x，y），则由（1）可列出第一个方程+=1①.对条件（2）进一步挖掘，可发现PA⊥OA，PB⊥OB，PA=PB.再由条件（3）知PA⊥PB，则可发现四边形OAPB是正方形，因此，|OP|=2，可列出第二个方程x+y=4②.联立方程①②解得x=±2，故P点的坐标为（±2，0）.
第二招：韦达定理，平中见奇。
当直线与圆锥曲线相交于两点时，对由其方程组成方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，由韦达定理写出相应关系式，通过其它条件或所求寻找关系进行等量代换，如此平凡的处理中常常能直奔主题，事半功倍。
例2.已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=2，记动点P的轨迹为W.
（Ⅰ）求W的方程.
（Ⅱ）若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求、的最小值.
解析：（Ⅰ）易求得W的方程为-=1，x≥.
（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（x，y），（x，y），
当AB⊥x轴时，x=x，从而y=-y，从而・=xx+yy=x-y=2.
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得：
（1-k）x-2kmx-m-2=0
故x+x=，xx=.
所以・=xx+yy=xx+（kx+m）（kx+m）
=（1+k）xx+km（x+x）+m
=++m
==2+
又因为xx＞0，所以k-1＞0，从而・＞2.
综上，当AB⊥x轴时，・取得最小值2.
第三招：设而不求，重在消参。
设而不求的思想在解析几何综合题的解答中应用最为广泛，几乎每题必用，通过引进参数使原问题的结构形式和解题目标发生变化，有利于从新的角度分析和认识问题，其基本动作要领为“巧选参，活用参，重消参”。选参数时必须充分考虑制约动点的各种因素，因为参数不同导致解题时的繁简程度也不尽相同，消参时要注意参数范围对取值的影响，以确保问题的等价性。
例3.如图2，设抛物线C：y=x的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点，求△ABP的重心G的轨迹方程.
解析：题目中动点较多，关系复杂，应以引起动点运动变化的变化规律为切入点，以主动点为目标，将从动点的坐标进行整体转移或变换消参，可借所设点参而现轨迹原形。
设切点A、B的坐标分别为A（x，x），B（x，x），（x≠x），
则切线AP的方程为：2xx-y-x=0，
切线PB的方程为：2xx-y-x=0，
解得P点的坐标为x=y=xx，故△ABP的重心G的坐标为x==x，
y====，得y=-3y+4x，
又点P在直线l上运动，故重心G的轨迹方程为x-（-3y+4x）-2=0即y=（4x-x+2）.
第四招：借助平几，峰回路转。
解析几何和平面几何研究的对象都是几何问题，区别在于研究的手段不同，所以有些解析几何问题借助平面几何知识（如中位线定理、角分线定理、垂径定理、勾股定理等）往往能迅速找到解题的突破口，起到事半功倍的效果。
例4.已知圆C：（x-3）+（y-4）=4，直线l过点A（1，0），且与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l与l：x+2y+2=0的交点为N.求证：AM・AN为定值.
证明：由两点式得AC所在直线方程：=，即2x-y-2=0.
又l方程为x+2y+2=0，故AC⊥l.
如图3，设垂足为B，再由M为弦PQ中点知CM⊥PQ，
故△AMC∽△ABN，有=，
则AM・AN=AB・AC=・=・2=6
故AM・AN为定值.
第五招：通览全局，局部突破。
例5.椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
（1）求椭圆的方程及离心率.
（2）设=λ（λ＞1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明=-λ.
解析：（1）易解得椭圆的方程为+=1，离心率e=.
（2）由（1）可得A（3，0），设P（x，y），Q（x，y），则=（x-3，y），=（x-3，y），由=λ得x-3=λ（x-3）①，y=λy②，
又P、Q在椭圆上，有+=1③，+=1④.
注意λ＞1，由①②③④解得x=，因F（2，0），M（x，-y），
故=（x-2，-y）=（λ（x-3）+1，-y）=（，-y）=-λ（，y），
而=（x-2，y）=（，y），所以=-λ.
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