[化归是打开数学王宫的第一把钥匙] 王宫良
时间：2019-01-07 03:24:37 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 化归是中学数学中最基本的思想方法，是数学思想的精髓。数学研究的过程自始至终贯穿着“化生为熟，化繁为简”，从而使问题得以圆满解决。本文介绍了在中学数学解题过程中如何使用划归思想化生为熟，化繁为简，从而达到解题的目的。
关键词： 划归 高考 应用
数学是研究空间形式与数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。它的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的各个方面。新颁发的《普通高中数学课程标准》明确要求学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰，思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。而化归既是一种数学思想，又是一种数学能力，无疑是数学这个皇冠上一颗璀璨的明珠。
所谓化归，是指我们在细致观察问题的基础上，展开丰富的联想，以求唤起对有关旧知识的回忆，开启思维的大门，顺利地借助于旧知识、旧经验来处理面临的新问题。化归是中学数学中最基本的思想方法，是数学思想的精髓。数学研究的过程自始至终贯穿着“化生为熟，化繁为简”的思想，从而使问题得以圆满解决。其思维流程图如图1所示：
在历年高考中，化归思想都占有相当重要的地位，考查的题型在填空题、选择题及解答题中均有不同程度的体现。几乎每年的解答题中都蕴含了化归的思想方法。可以这样说：高考是检查学生对“双基”的理解、掌握与运用的程度，也是通往理想王国的重要之路；而化归，则是打开数学王国的第一把钥匙。下面从思维的角度谈谈化归在高考中的应用。
一、纵向化归
即把面临的新问题，通过减元（消元）、降格（降维）等手段化归为已经解决的问题，或化归为已经解决的问题，或化归为熟悉的、简单的、具体的问题来处理。
1.复数问题实数化
数系由实数扩充到复数以后，复数问题大都可以转化为实数问题来解决。
例1：（2008年江苏）若将复数表示为a+bi（a，b∈R），则a+b= 。
解析：===i，故a=0，b=1，a+b=1.
点评：复数的除法与实数运算中的“分母有理化”非常相似，故约定俗成地命名为“分母实数化”。
2.一般问题特殊化
辩证唯物主义认为：事物的共性存在于个性之中，并通过个性表现出来。因而对于一般情况都成立的结论，在特殊情况下也必然成立。
例2：（2007年海南）设函数f（x）=为奇函数，则a= 。
解析：本题按常规解法，由奇函数的定义推求a太罗嗦。若采用赋值法，因f（x）是奇函数，必有f（1）=-f（-1），即2（a+1）=0，极易求得a=-1.
3.立体几何平面化
例3：（2007年重庆）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）。
A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分
解析：以点代线，以线代面，将立体几何问题降维成平面问题，得到示意图2，答案一目了然。
二、横向化归
即通过命题的有关量进行转换，各学科间的转换，等价变化命题，运用同构变换将生疏、复杂、困难的问题的转换为熟悉、简单、容易的问题来处理。
1.数形结合巧量化
例4：（2009年模拟）已知关于x的方程|x-1|+x+kx=0在［0，2］上有两个不同的实根，则k的取值范围是。
解析：设y=|x-1|+x（x∈［0，2］），y=-kx（x∈［0，2］），则方程|x-1|+x+kx=0实数解即是函数y与y的交点的横坐标。由题知方程在［0，2］上有两个不同的实根，故y与y图像在［0，2］上应有两个不同的交点。在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像（见图3）易得k∈［-3.5，-1］.
点评：本题充分利用函数与方程的关系，由函数解析式（数）定函数图像（形），再由形推求数，实现了数与形的自由切换。可谓“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”。
2.抽象问题具体化
例5：设f（x）是定义在R上的单调增函数，若f（1-ax-x）≤f（2-a）对任意a∈［-1，1］恒成立，求x的取值范围。
解析：仿上例，可将抽象不等式转化为1-ax-x≤2-a对任意的a∈［-1，1］恒成立。此时若按常规方法视上述不等式变量为x，求解将非常繁琐。但若采用主元转换法，视a为变量，则上述不等式即（x-1）a+x+1≥0对任意的a∈［-1，1］恒成立。若x=1，不等式显然成立；若x≠1，则由一次函数的保号性，上述不等式恒成立必须且只需-（x-1）+x+1≥0（x-1）+x+1≥0此不等式组的解集显而易见。
点评：因为没有f（x）的具体表达式，故称此类函数为抽象函数。要解决与此有关的问题，只能充分利用其性质。想脱去抽象的函数符号，只能依靠函数的单调性。
3.实际生活数学化
例6：（2010年全国卷）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由。
解析：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为=14%.
（2）K==9.967.
由于9.967＞6.635，因此有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。
（III）由（II）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好。
点评：《2008年普通高等学校招生统一考试数学学科考试说明》强调“注重数学的应用意识和创新意识的考查”，要求学生“能够综合、灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题”。本题很好地体现了“数学来源于生活，而又服务于生活”的理念。当然，实际生活类问题可概括成何种数学模型，还得具体问题具体分析分别对待。
三、同向化归
即把面临的新问题进行命题分割或命题分解，化归为某一（或几个）可简洁处理的子问题，通过解决这一（或几）个子问题解决所有问题。或在推演中，进行同理推导、同解变形、化简等。分类讨论的思想是这种化归的重要表现形式。
例7：（2006年山东）已知抛物线y=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x，y），B（x，y）两点，则y+y的最小值。
解析：过点P的直线可分为斜率k存在与不存在两种情况。当斜率k不存在时，易求得y=y=16，故y+y=32；当斜率k存在时，易知k≠0（否则k=0时直线与抛物线不可能有两个交点）。直线方程为y=k（x-4），则由y=k（x-4）y=4x得ky-4y-16k=0，由韦达定理，易得y+y=（y+y）-2yy=+32＞32。
点评：对事物进行分类时，必须做到“不重（复）不（遗）漏”，否则功亏一篑。
四、逆向化归
即在处理、解决问题时，运用习惯的化归方式去转化时，出现较繁或较难入手的情形，或出现逻辑上的困惑。此时如从问题的反面入手，针对问题的条件、结论、求解程序、推理步骤进行逆向化归，采取正难则反的化归措施，往往会收到奇效。
例8：（2007年全国卷一）某商场经销某种商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为：
商场经销一件该商品，采用1期付款的利润为200元，分2期或3期付款的利润为250元，分4期或5期付款的利润为300元。η表示经销一件该商品的利润。
（1）求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）;
（2）求η的分布列及期望Eη。
解析：（1）表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，则有：
P（）=（1-0.4）=0.216
P（A）=1-P（）=1-0.216=0.784
（2）η的可能值为200元、250元、300元
P（η=200）=P（ξ=1）=0.4
P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4
P（η=300）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.1=0.2
故η的分布列为：
Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）
点评：（1）中若从正面考虑，有三大类（采用1期付款人数各有1人、2人、3人）61种情况，计算起来不胜其烦。而从其反面考虑，非常简洁。
总之，化归既可以应用于沟通数学各学科间联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题。
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