[多角度求解椭圆切线方程] 椭圆切线方程
时间：2019-01-07 03:24:33 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在圆锥曲线练习题中经常会遇到如下一类问题： 问题：求椭圆+=1上某一点处斜率为k的切线方程. 对于这类问题，我从不同角度给出如下五种解法： 方法一：
设：与椭圆相切且切线斜率为k的切线方程为
y=kx+m（1）
因为（1）式与曲线相切，所以将（1）式与椭圆方程联立，即得：
+=1（2）
（ak+b）x+2akmx+am-ab=0
△=amk-（amk+bm-abk-b）=0（3）
由（3）式解得bm=abk+b，所以m=±.代入（1）式即得切线方程：
y=kx±（4）
方法二：
设：（x，y）为切点，由椭圆的上任意一点的切线方程知，在（x，y）处的切线方程为
+=1（5）
将（5）式化简得
y=-x+（6）
所以k=-
因为（x，y）在椭圆上，所以
aky+xb=0+=1（7）
解得：x=±，y=±代入（6）式即得切线方程.
方法三：
由椭圆标准方程得：
y=±b（8）
由于椭圆是对称图形，为了计算简便因此只需取椭圆的上半部分，即在（8）式中取正号，即
y=b（9）
通过（9）式求出其中一个切点，另一个切点是关于坐标原点对称的，于是可得：
y′=k=（10）
由（9）式解得x=ak（11）
将（10）式代入（9）式解得y=b（12）
因此其中一切点为（ak，b），另一切点为（-ak，-b），通过点斜式可得切线方程为：
y=k（x±ak）±b（13）
方法四：
定理1.若直线l∶y=kx+m为椭圆x=acosθy=bsinθ（a＞0，b＞0，θ∈［0，2π））的切线，设Z=kx+m-y，则Z=0或Z=0，其中k为直线l的斜率.
证明：若l与椭圆相切，则椭圆上的点都在l的同侧，根据线性规划知识可知，对于椭圆上任意一点P（x，y），Z=kx+m-y≥0或≤0，所以Z=0或Z=0，当且仅当P为切点时等号成立.
例：直线y=x+b是椭圆+=1的切线，求b的值.
解：y=x+b是椭圆+=1的切线，令Z=x+b-y，其中x=12cosθy=5sinθθ∈［0，2π），因为Z=13+b=0或Z=-13+b=0，所以b=±13.
方法五：
设平面曲线方程为F（x，y）=+-1，且（x，y）为F（x，y）=0上一点，有
k=-==（14）
则F（x，y）=0在（x，y）处切线方程为：
F（x，y）（x-x）+F（x，y）（y-y）=0（15）
上文中给出了五种求椭圆上斜率为k的切线方程的方法.以上五种方法不只适用于解决椭圆切线问题，还可以推广至求双曲线及抛物线的切线方程。有兴趣的读者可以自行证明，在此不再赘述。
参考文献：
［1］华东师范大学数学系编.数学分析（下册）第三版.北京：高等教育出版社，2008.2.
［2］罗章军.椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法［J］.中学数学研究，2009，（6）.
基金项目：安康学院大学生科研计划项目《竞赛数学中的研究性学习及实践》（2010AKXYDXS02）
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