立体几何中垂直关系典例解析
时间：2023-06-29 19:15:01 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
⦿甘肃省平凉市静宁县界石铺中学 周建军
立体几何证明中，课本上的概念、性质定理、判定定理是处理文字、图形和数学符号之间关系的最好工具，线与面、面与面的垂直可转化为线与线的垂直.线与线的垂直关系模型常见的有：①等腰(等边)三角形中“三线合一”性质的应用模型；
②菱形(正方形)对角线互相垂直性质的应用模型；
③线面垂直的定义模型；
④满足勾股定理的三角形模型；
⑤直径所对的圆周角是90°；
⑥墙角模型(三条直线两两垂直)；
⑦拐弯模型；
⑧两平行直线中的一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于这条直线.只要熟练运用好上面的几种垂直模型，立体几何中的垂直关系便可迎刃而解.
2.1 空间折叠题型和墙角模型的应用
例1如图1，已知△ABC中，AD是边BC上的高，以AD为折痕折叠△ABC，使∠BDC为直角.求证：(1)平面ABD⊥平面BDC；
(2)平面ADC⊥平面ABD.
图1
分析：该题是由平面图形折叠成立体图形，不管△ABD折叠到哪个位置，AD始终与BD，CD保持垂直关系，这也是这道题的题眼.
证明：(1)∵AD⊥BD,AD⊥DC,BD∩CD=D，
∴AD⊥平面BDC.
∵AD⊂平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BDC.
(2)∵∠BDC=90°,
∴CD⊥BD.
又∵CD⊥AD，AD∩BD=D，
∴AD⊥CD.
又∠BDC=90°，且AD∩BD=D，
∴CD⊥平面ABD.
∵CD⊂平面ADC，
∴平面ADC⊥平面ABD.
点评：证明线面垂直的关键是在所证平面内找到两条相交直线分别与已知直线垂直，墙角模型恰好可以提供这种关系，以解决该题.面面垂直是通过转化思想，在线面垂直的基础上，找到一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
2.2 几何体结构特征的应用
例2如图2，在圆锥PO中，C是AB弧上一点(异于A，B)，D为AC的中点.
图2
求证：平面POD⊥平面PAC.
分析：①该题涉及到几何体的基本结构，PO为圆锥的高线，所以PO垂直于底面圆所在平面；
②利用线面垂直的定义，PO垂直于底面圆，则PO垂直于底面圆内的所有直线；
③圆的直径所对的圆周角等于90°；
④添加辅助线.
证明：如图3，连接BC.
图3
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵点O，D是AB，AC的中点,
∴OD//BC.
∴AC⊥OD.
又在圆锥PO中，PO垂直于⊙O所在的平面，
∴PO⊥AC.
∵OD∩PO=O,
∴AC⊥平面POD.
∵AC⊂平面PAC,
∴平面POD⊥平面PAC.
点评：立体几何垂直证明的推理过程，培养了学生的逻辑推理能力，更培养了学生的几何观察能力[1].通过对图形的观察，运用数学符号语言进行合情推理，印证了垂直的性质定理和判定定理在实际问题中的合理应用，加强了学生在推理活动中的观察、操作、分析、论证能力.
2.3 三角形中边长满足勾股定理的垂直模型的应用
例3如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：平面BDE⊥平面ABC.
图4
分析：由题意易证DE⊥AC，根据图形利用三角形的边长，结合勾股定理可证DE⊥EF，根据两个平面垂直的判定定理证明.
证明：∵PA⊥AC，且DE//PA，
∴DE⊥AC.
又EF//BC，
∴DE⊥BC.
又AC∩BC=C，
∴DE⊥平面ABC.
又DE⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABC.
点评：当证明线线垂直的条件不足时，就要认真阅读题目中给出的边长条件，善于观察，结合勾股定理构造直角三角形，从而完成逻辑推理证明，激发学习数学、解决问题的热情.
2.4 多重垂直证明
例4如图5，空间四边形PABC中，∠ACB=90°,PA⊥平面ABC，E，F分别是PC和PB上的点，且满足AE⊥PC,AF⊥PB,求证：PB⊥平面AEF.
图5
分析：这道题中涉及到“拐弯垂直模型”和多重垂直的证明.“拐弯垂直模型”，如图5中的“PA⊥AC→AC⊥BC”,这种模型在很多题目中出现，需要学生熟练掌握.
多重垂直证明，是不断地通过垂直关系，找到新的垂直条件.可从结论出发，逆向寻找成立条件，即“PB⊥平面AEF→AE⊥PB→AE⊥平面PBC→AE⊥BC→BC⊥平面PAC→BC⊥PA→PA⊥平面ABC”，最终向已知靠近，需要反复应用直线与平面垂直的定义和判定定理.
证明：∵PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC.
又PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC.
∵AE⊂平面PAC，
∴BC⊥AE.
又AE⊥PC,PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC.
∵PB⊂平面PBC，
∴AE⊥PB.
∵AF⊥PB,AE∩AF=A，
∴PB⊥平面AEF.
点评：当题目中涉及多重垂直时，考查学生观察图形、系统整合、快速转化的能力[2].我们可以从结论出发，逆向推理寻找所需条件，从一个垂直到另一个垂直关系的转化中，要时刻保持清醒，明确在转化的过程中哪些条件变了，哪些条件没有改变，这些条件之间有什么联系，必须保持严密性，逐步寻找结论成立的充分条件，向已知靠拢，最后应用综合法，规范表述因果关系.
立体几何中垂直关系的学习，是通过对简单几何体模型的观察到模型画图，再到识图.从点、线、面的位置关系的表述，到依据定义、定理运用逻辑推理方法正确表达几何图形语言和数学符号语言，这是一个系统的工程，需要学生多看、多想、多练，多总结经验，以强化空间思维能力和逻辑推理能力.
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