带竞争势Schrödinger-Poisson系统的解
时间：2023-06-16 22:25:02 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
魏重庆，李安然
（山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006）
Schrödinger-Poisson系统是由Schrödinger方程和Poisson方程耦合成的新方程。它有着很强的数学物理背景。在量子电动力学理论中，它描述了在R3中带电粒子与电磁场的相互作用。此外，类似的系统也出现在半导体理论、非线性光学、等离子物理等领域。从数学角度来看，由于非局部项的存在，该类问题也是国内外研究的一个热门对象。国内外关于该类系统的研究已经取得了很多丰硕的成果，以至于很难给出一个全面的介绍。在这里我们只是节选了其中一些具有代表性的成果。关于Schrödinger-Poisson系统驻波解的研究始于上世纪九十年代末。1998年Benci和Fortunato［1］首次研究了一类自治Schrödinger-Poisson系统的特征值问题。此后越来越多的数学工作者采用变分法去研究各类Schrödinger-Poisson系统解的存在性、不存在性和多重性以及基态解、变号基态解、多峰解、半经典态解等问题［2-16］。其中，2006年 Ruiz［2］研究了如下一类自治的Schrödinger-Poisson系统
其中λ＞0，p∈(2，6)，在径向对称函数空间中，利用变分法作者得到了上述系统非平凡解的存在性与不存在性。2008年文献［3］利用Nehari-Pohozaev流形方法部分推广了文献［2］的结果，得到了3＜p＜6 时一类非自治 Schrödinger-Poisson 系统基态解的存在性。2010 年 Cerami和 Vaira［4］在位势函数满足一定可积条件下研究了4＜p＜6时一类非自治Schrödinger-Poisson系统正基态解和束缚态解的存在性。2013年文献［5］利用变分法研究了2＜p＜6时一类带有陡井位势的Schrödinger-Poisson系统非平凡解的存在性以及解的集中行为。2015年王征平和周焕松［6］得到了4＜p＜6时一类非自治Schrödinger-Poisson系统变号解的存在性并给出了变号解的能量估计。2019年通过构造特殊的（PS）序列文献［7］研究了一类渐近2次条件下自治Schrödinger-Poisson系统基态解的存在性。2019年文献［8］得到了一类渐近4次条件下非自治Schrödinger-Poisson系统束缚态解的存在性。2019年借助Pohozaev恒等式文献［9］构造了一列特殊的（PS）序列进而得到了渐近3次条件下无穷多径向解的存在性。2020年文献［10］解决了一类带有非收敛位势的Schrödinger-Poisson系统基态解的存在性问题。文献［11］研究了一类非自治Schrödinger-Poisson系统变号束缚态解的存在性。文献［12］得到了一类带有Choquard型非线性项的Schrödinger-Poisson系统变号解的存在性。临界Schrödinger-Poisson系统基态解的存在性在文献［13］被研究了。2021年一类带有凹凸非线性项的Schrödinger-Poisson系统变号解的存在性在文献［14］中被研究了。文献［15］研究了一类Schrödinger-Poisson系统多峰解的存在性问题。最近，文献［16］研究了2＜p＜3时一类非自治Schrödinger-Poisson系统两个正解以及非径向基态解的存在性。
通过上述文献可知，非线性项的增长指数以及位势函数对Schrödinger-Poisson系统非平凡解的存在性有很大的影响。与上述所有文献不同，本文要研究的是一类带有竞争位势的Schrödinger-Poisson系统。具体形式如下
其中2＜p＜min{q，6}≤q，λ≥0是实数，K、P、Q是满足一定勒贝格可积性假设条件的正的位势函数。从形式上来看，与以往关于Schrödinger-Poisson系统研究最大的不同之处是我们要研究的问题是一种零质量问题。因此主要工作空间是D1，2(R3)而不是通常的H1(R3)。另外对非线性项中指数q的约束，我们只要求q＞p＞2即可。具体地，关于位势函数K、P、Q我们做如下假设
关于此类竞争位势的类似假设最早由Alama和Tarantello［17］利用变分法研究了如下类型的Dirichlet边值问题
其中Ω⊂RN是一个有界光滑区域，k和h是非负有界函数且满足一定的可积性条件。根据参数λ取值的不同，得到了上述问题非平凡解的不存在性、存在性以及多重性。2001年Pucci和Rădulescu［18］将竞争位势的相关假设应用到全空间拟线性椭圆方程中。随后，类似竞争位势条件被推广和应用到一些相关问题上（详见文献［19-20］）。
本文的主要结果叙述如下：
定理1 当2＜p＜min{q，6}≤q时，在条件（K）、（P）、（Q）下，存在λ*＞λ0＞0使得
（i）当λ＜λ0时，系统（Pλ）只有平凡解0；
（ii）当λ＞λ*时，系统（Pλ）至少有两个非平凡解。
在这部分，我们给出系统（Pλ）的变分框架以及将要用到的抽象临界点定理。
首先，我们建立系统（Pλ）的变分框架：D1，2(R3)：={u∈L6(R3)||∇u|∈L2(R3)}是一个 Hilbert空间，其上的范数定义为
在这一部分我们将证明主要结果。首先，对任意给定的正实数λ，根据引理1我们有
