Hilbert,K_模上紧框架的收敛与估计
时间：2023-06-13 17:25:12 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
董芳芳, 裴瑞昌
(天水师范学院 数学与统计学院, 甘肃 天水 741001)
紧框架在框架理论的研究中扮演着非常重要的角色，它不仅具有优于其他框架的性质，还具有更广泛的应用.HilbertK_模是一种特殊的HilbertC*-模[1]，其中底代数K为作用在Hilbert空间上的全体紧算子组成的C*-代数，显然I∉K，因此，HilbertK_模无法膨胀，但是Bakic等[2]证明了有限或可数生成的HilbertK_模一定有特殊的标准正交基，其特殊点在于相同基向量的内积为K中的一个秩1的自伴投影eξ,ξ，它是HilbertK_模的标志(见定义2)，本文将eξ,ξ的亮点体现的淋漓尽致.另外，本文中涉及到的Λ为有限或可数的指标集，本文研究的模均为有限或可数生成的.
定义1[2]设K为作用在Hilbert空间H上的全体紧算子组成的C*-代数，M是复数域C上的线性空间，M是左K_模，满足：μ(kx)=(μk)x=k(μx)，其中任意的μ∈C，k∈K，x∈M，若〈·,·〉:M×M→K具有性质:
1) 〈x,x〉≥0，∀x∈M；
2) 〈x,x〉=0⟺x=0，∀x∈M；
3) 〈x,y〉=〈y,x〉*，∀x,y∈M；
4) 〈kx,y〉=k〈x,y〉，∀k∈K，∀x,y∈M；
5) 〈x+y,z〉=〈x,z〉+〈y,z〉，∀x,y,z∈M.
定义3[2]称HilbertK_模M中的序列{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为框架，若存在常数a>0,b>0，使得对∀x∈M，
若a=b，则称{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为紧框架；
若a=b=1，则称{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为正规紧框架.
定义4[3]设M为HilbertK_模，{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为M的框架，{vλ,λ∈Λ}为M的标准正交基，定义算子：θ:M→M，使得对∀x∈M，有
称θ为{eξ,ξxλ,λ∈Λ}的框架变换，S=θ*θ称为{eξ,ξxλ,λ∈Λ}的框架算子，显然，S为可逆自伴的正算子，且对任意的x∈M，
定理1[4]设M为HilbertK_模，{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为M的以a>0为紧框架界的紧框架，θ为其框架变换，P:M→θ(M)为正交投影，则
且θθ*=aP，其中{vλ,λ∈Λ}为M的标准正交基.
证明设θ1和θ1分别为其框架变换，结合定理1有
从而
因此，〈(aP+bQ)(vλ),vλ〉=〈eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,eξ,ξxμ⊕eξ,ξyμ〉=eξ,ξ=〈vλ,vλ〉当且仅当aP+bQ=I.
下面将该结论推广到有限个HilbertK_模上.
推论1设M为HilbertK_模，{eξ,ξxiλ,λ∈Λ}(i=1,2,…,n)均为M的紧框架，且紧框架界分别为ai>0，Pi:M→θi(M)均为正交投影，则
{eξ,ξx1λ⊕eξ,ξx2λ⊕…⊕eξ,ξxnλ,λ∈Λ}∈
下面定理揭示了存在满足一定条件的有限个紧框架的內积之和等于eξ,ξ.
定理3设M为HilbertK_模，若存在M的ai-紧框架{eξ,ξxiλ,λ∈Λ}(i=1,2,…,n,ai>0)，使得
则
证明设{vλ,λ∈Λ}为M的标准正交基，结合推论1,有
从而，一方面，
从而
综上，
下面定理说明：
定理4设M为HilbertK_模，若存在M的紧框架{eξ,ξxiλ,λ∈Λ,i∈N+}，使得
∀λ∈Λ
则
其中
事实上，对任意的x∈M，
另外，由于
即
∀λ∈Λ
最后，由于对∀x∈M，
显然满足P2=P=P*，并且
从紧框架的框架算子S和指标集Λ1⊂Λ出发，受文献[5-8]的启发，解决了HilbertK_模上紧框架的估计问题，包括最优的双边不等式和等式，涉及到算子的“配方”，最后也得到了关于对偶框架的一些等式.
定理5设M为HilbertK_模，{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为M的a-紧框架，且a>0，则对任意的Λ1⊂Λ及任意的x∈M，有下面的结论：
证明1) 由于对任意的可伴有界线性算子T1和T2，若T1+T2=aI，则
或
也即，
从而，
即
展开后有
〈a2I(x),x〉
因此，
即
展开后有
当{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为M的正规紧框架时，显然有
3) 类似地，由于
即
〈a2I(x),x〉
也即，
展开后有
注3当{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为M的正规紧框架，即a=1时以上三个结论更成立，这里不再累述.
定理6设M为HilbertK_模，{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为M的框架，S为其框架算子，{S-1(eξ,ξxλ),λ∈Λ}和{eξ,ξyλ,λ∈Λ}分别为其典则对偶框架和交替对偶框架，则对任意的Λ1⊂Λ及任意的x∈M，
证明1) 由于{S-1(eξ,ξxλ),λ∈Λ}为{eξ,ξxλ,λ∈Λ}的典则对偶框架，从而，对任意的Λ1⊂Λ及任意的x∈M，
从而，一方面，
另一方面，
综上，
2) 类似1).
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