近似P-范分布的渐近正态性及柯尔莫哥洛夫检验
时间：2023-06-10 20:15:20 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
胡宏昌，王佳琪
(湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)
由于在测量数据的采集、录入及处理过程中，不可避免地受到外界条件、人为因素等的影响，导致观测误差不是正态分布，而采用P-范分布描述更为合理。尽管P-范分布描述观测误差时具有明显的优越性，但其概率密度函数的表达式较为复杂，在对其进行理论分析和实际应用研究时，具有一定的困难。因此找到一个形式比较简单的函数来近似地代替P-范分布的密度函数是很有必要的。为了使P-范分布的相关问题得到简化，文献[1]利用密度函数较为简单的正态分布、拉普拉斯分布以及均匀分布的线性组合来近似地表示P-范分布，这种表示方法能够近似到四阶矩，那么可以认为f1(x)与f2(x)近似相等。虽然这种近似对其理论分析和实际应用的研究都是十分有利的，然而在理论上这种观点存在明显的缺陷(由两种分布的前四阶矩相同不能推出这两种分布相同)。
尽管对于P-范分布的深入研究成果有很多(如文献[1～6]等)，然而涉及其检验问题的研究不多(只有文献[5]涉及P-范分布的参数假设检验问题)。为了弥补文献[1]的不足和拓宽P-范分布的研究范围，本文采用柯尔莫哥洛夫检验方法对近似P-范分布进行非参数假设检验，以此来验证近似P-范分布的拟合效果。
1.1 P-范分布的密度函数
定义1[4]若随机向量X的密度函数为
(1)
注1 易得一元P-范分布的密度函数的数学期望为μ，方差为σ2，偏态系数为0，峰态系数为
注2 拉普拉斯分布(p=1)、正态分布(p=2)、均匀分布(p→∞)和退化分布(p→0)均为P-范分布的特例。
1.2 P-范分布的近似表示
设有两个随机变量X1和X2，其密度函数分别为f1(x)和f2(x).如果它们的数学期望、方差、偏态系数及峰态系数均相等，那么可以近似地认为X1和X2具有相同的统计性质，而且f1(x)与f2(x)近似相等(参见文献[1].虽然这种观点存在明显的缺陷，但本文还是采用这种近似)。
当1≤p≤2时，有0≤γ2≤3，因此可以用
f(x)=(1-ε)fN(x)+εfL(x)
(2)
来近似地表示fp(x)，其中fN(x)与fL(x)分别为正态分布与拉普拉斯分布的密度函数，表达式分别为
显然，f(x)、fN(x)、fL(x)具有相同的数学期望μ和方差σ2，且偏态系数均为0.而f(x)的峰态系数为
因此只要令
则fp(x)与f(x)具有相同的数学期望、方差、偏态系数、峰态系数。即用f(x)代替fp(x)可以准确到四阶矩。
当2≤p<∞时，fp(x)的峰态系数介于正态分布与均匀分布的峰态系数之间，因此可以用正态分布与均匀分布的组合来近似地表示，即
f(x)=(1-ε)fN(x)+εfR(x)
(3)
其中
由于分布f(x)的峰态系数为
所以令
则fp(x)与f(x)具有相同的数学期望、方差、偏态系数和峰态系数，即用f(x)代替fp(x)也可以准确到四阶矩。
下面利用特征函数来讨论上文两种近似P-范分布的随机变量序列和的极限分布。
定理1 若ξ服从近似P-范分布(1≤p≤2), 其简单随机子样序列ξ1，ξ2,…,ξn,且nε→0，则
证明 当1≤p≤2时，P-范分布可由正态分布与拉普拉斯分布的密度函数近似表示。易知正态分布与拉普拉斯分布的特征函数分别为
因此近似P-范分布的特征函数为
下证当nε→0时，上述二项式的展开式中第二项到第n项均为第一项的无穷小量。事实上，由于
所以
即为N(nμ,nσ2)的特征函数。
定理2 若ξ服从近似P-范分布(2≤p≤∞)，其简单随机子样序列ξ1,ξ2,…,ξn,且nε→0，则
证明 当2≤p≤∞时，P-范分布可由正态分布与均匀分布的密度函数近似表示。类似于定理1，在此略。
情形一 当p=1.5时，随机生成120个服从P-范分布的随机数，这里检验假设为
H0∶F(x)=F0(x)=(1-ε)Fn(x)+εFL(x)⟺H1∶F(x)≠F0(x)
为了根据子样观测值得到统计量Dn的值，把必要的计算结果列入表1中。
表1 当p=1.5时，统计量Dn及其相关值
续表1
从表1中|F(xi)-Fn(xi)|和|F(xi)-Fn(xi+1)|两列可以得到统计量D120=0.110176，查柯尔莫哥洛夫检验临界值表(严格地来说是极限分布函数数值表)得到
由此可推断不能拒绝原假设，因此认为原假设H0成立。
情形二 当p=3时，生成120个服从P-范分布的随机数，这里检验假设为
H0∶F(x)=F0(x)=(1-ε)Fn(x)+εFR(x)⟺H1∶F(x)≠F0(x)
类似于情形一的计算可得
D120,0.10=0.11137>D120=0.102373
因此认为原假设H0成立。
综上，通过运用柯尔莫哥洛夫拟合检验的方法，分别对两个近似P-范分布进行非参数假设检验。结果显示，两个近似P-范分布均通过检验，从而从分布的角度说明了近似P-范分布能够替代P-范分布。
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