求解凸可行性问题的循环平均交替反射法
时间：2023-06-04 15:15:27 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
梅 奎，欧阳薇
（云南师范大学 数学学院，云南 昆明 650091）
凸可行性问题是给定一族非空闭凸集C1,C2,…,Cr包含在希尔伯特空间H中，寻求可行性问题在数学和物理等不同领域中有着大量的实际应用。它们都可以用问题（1）
这种形式进行建模，因此问题（1）引起了许多学者的注意[1-2]。在解决问题（1）的各种算法中，Douglas-Rachford 算法是最常用的算法之一，它最初由Douglas 和Rachford 提出[3]，用于求解热传导问题中的线性方程组，后来由Lions和Mercier扩展到求解具有任意闭集和凸集的可行性问题[4]，并有其他学者进行了相关研究[5-7]。1984 年Pierra 提出了乘积空间中的Douglas-Rachford 算法，将原始的Douglas-Rachford 算法应用于多集合中[8]。2008年Luke提出了松弛平均交替反射法（RAAR方法），其迭代定义为经典Douglas-Rachford算子与投影算子之间的平均值[9]。2014年Borwein和Tam提出了循环DR算法，它可以应用于多集合的凸可行性问题，而无需使用乘积空间中的DR算法，该方法弥补了DR算法不能直接处理多集凸可行问题的不足[10]。受此启发，本文将松弛平均交替反射法进行扩展，考虑一种循环平均交替反射法，并利用它求解可行性问题（1）。
本文组织结构如下：第1节给出一些基本概念和结论，第2节介绍循环平均交替反射法并证明该算法的收敛性，第3节利用循环平均交替反射法进行数值实验，第4节进行总结。
引理8[13]若T:H →H 是非扩张、渐进正则的且FixT≠∅，则对任意x0∈H序列{Tnx0}弱收敛到FixT中一点。
算法1 本节考虑循环平均交替反射法，其迭代格式如下：
图1 二维凸可行性迭代图Figure 1 Iteration diagram of two-dimensional convex feasibility problem
图2 三维凸可行性迭代图Figure 2 Iteration diagram of three-dimensional convex feasibility problem
从图3中可以看出，随着约束集的增加，虽然迭代次数呈上升趋势，但都能够在较少的迭代次数中寻找到凸可行性问题的解。
图3 约束集个数和平均迭代次数关系图Figure 3 Relationship between the number of constraint sets and the average number of iterations
为求解多个集合的可行性问题，本文构造了一种循环平均交替反射算法，在约束集是闭凸集的情形下证明了由循环平均交替反射法产生的迭代序列收敛于可行性问题的解，同时结合实例给出数值实验，实验结果表明该算法有着良好的收敛性。
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