略论小学数学课堂模型思想的渗透——基于对课例的“层次析出模型”分析

钟勇为 嵇晨昕 李珠

（1.江苏大学教师教育学院，江苏 镇江 212013；
2.松江区洞泾学校，上海 松江 201619）

这个世界到处充斥着各种模型，人们利用它认识社会、改造世界，为人类造福。就学校数学教学而言，引导学生认识数学模型进而培植模型思想，是其重要的使命与任务。何谓数学模型？张奠宙教授认为泛指“数学学习中的概念和数学规律”，微观而言乃“具体问题中的关系及其特性的反映”［1］。模型思想作为一种旨在通过建立并分析数学模型以解决实际问题的数学思想，早已被世人关注和重视。早在1989 年，美国科学院便向国家递交报告，明确提出将数学建模引入到数学教育改革是一项最为急迫的任务。我国《义务教育数学课程标准（2011 年版）》亦明确把构建模型思想视为学生体会数学和外部世界联系的基本途径。2022 年，数学建模首次列入全国高中教学计划。然而，省察当下我国数学课堂，因教师缺乏模型思想渗透意识与能力而导致学生建模素养不高的问题，依然较为突出。在此情势下，寻求实践哲学的指引，从现实课例中汲取经验、培育智慧以满足基础教育之所需，便成了业界的不二选择。

我国对数学教学模型思想渗透的研究发轫于21世纪初，兴于2012 年前后。史宁中、马云鹏等人基于数学建模、数学模型与数学的关系所总结的数学模型思想涵义［2］，在业界反响较大。对于小学数学课堂模型思想渗透存在的问题，如教师对模型思想理解偏狭、学生对非常规问题不接纳以及应用模型思想方法分析和解决问题的意识缺乏［3］，研究界主要归结为教师的认识误区和教学素质低下。对此，徐斌艳教授从学生心理的发展特征、数学学习的特点以及教学原则等方面，提出了模型思想渗透的可行性原则、主动学习与指导学习相结合原则等四大原则［4］。

近十年，国内外研究者开始由构建宏观理论转向探究微观策略，对模型思想渗透的教学过程提出了不少独到的见解。譬如，许卫兵的“三字真言”即“磨·模·魔”［5］，袁红的“四阶段说”即现实问题数学化、模型求解、数学建模思想解答和现实问题解答验证四个阶段［6］，温迪（Wendy）的“两流程说”即数学角度的建模流程和实验验证方法的建模流程［7］，以及马塞拉（Marcela）的“问题分类说”即先将数学问题进行分类并依此达成数学建模［8］，等等。虽然研究者的阐释不尽相同，但提出的基本流程大都内蕴有问题假设（认识模型）、建立模型、解决问题以及检验等旨趣特征。此外，还有一些研究者就模型思想渗透的策略发表有不少高见。梳理整合之，大致可归结为注重联系生活、强化学生的过程化参与以及提升问题解决的灵活性。

透过众多理论成果不难发现，此类研究的基本旨趣是——倡导在数学化的过程中渗透模型思想，强调在讲练中增强学生解决问题的能力。比照基础教育实践需求，现有研究有待进一步深化渗透策略研究。优秀的课堂教学实例，具有良好的示范与引领作用。而且，思维乃行为之导向，教学行为映射出教师的教学策略。因而，本文试图在揭示优秀课例中的师生教学行为基础上，透析此类行为背后的价值与运思，借此总结小学数学课堂渗透模型思想的基本方略。

（一）研究的对象与问题

本研究的对象是《平行与垂直》课例中的模型渗透，该课例在全国第十三届深化小学数学教学改革观摩交流会中荣获一等奖。之所以选择其作为研究对象：一是它具有优质课的品质特征，所运用的教学策略具有可借鉴性；
二是课例是模型思想在图形与几何中的呈现，模型思想渗透意识浓郁。本研究的问题是该获奖课例在数学模型思想渗透方面有何过人之处以及我们可以从中获得何种渗透方略启示。

（二）分析框架：“层次析出模型”

华东师范大学顾小清教授在弗兰德斯（Flanders）20 世纪创建的课堂互动分析系统（FIAS）基础上进行升级改造，研制了基于信息技术的互动分析编码系统（ITIAS）。它包括教师行为、学生行为、沉寂和技术四大类，内含18 个具体观察维度。ITIAS 经过多次验证与改进后，目前已成为国内较为成熟的课堂教学量化分析工具。本研究运用ITIAS 分析课例视频中的教学行为，旨在为揭示课例如何开展模型思想渗透提供必要支撑。如人所言，“当前对教与学行为的分析多集中在对参与者之间互动的显性分析，对深度互动的挖掘不够”［9］。仅有教学行为的数据分析，难以全面达成对模型思想渗透“秘诀”的揭示。为避免步入“片面化、数据中心主义和技术至上主义”的误区，本研究寻求开展“以‘协同’辩证方法论为基本立场的教育研究”［10］。

从实践论角度看，对课堂教学行为及其技艺（经验）的综合研判与科学总结，离不开对教学三大要素状态和教学任务与手段运用情况的把握。因而，除对教学行为特点进行分析外，还要基于教师素养与模型思想渗透进程的内在联结，做进一步的跨维度融合分析，以还原和揭示教学行为实施者的初衷之同时，从中汲取“意义”进而揭示模型思想渗透的可行路径。由此，我们构建了模型思想渗透研究的“层次析出模型”（见图1）：外环即行为揭示层，旨在客观揭示四个教学行为的特征；
中环即融合分析层，旨在阐明课例在课堂把控、教材处置和师生互动的应然与实然；
内环即方略提炼层，旨在从中环的融合分析中提炼和总结渗透方略。上述三个层次相互关联、层层递进——融合分析层既从行为揭示层获取事实与依据，又同时为方略提炼层提供价值与内容。其逻辑进路体现为一个由外到内、层层析出的过程，故得此模型之名。

图1 层次析出模型示意图

（三）研究方法

基于上述分析框架，本研究采用内容分析法和经验总结法。前者通过运用NVivo 软件对课例视频进行客观、系统和定量的描述，以揭示课例教师行为的特点及其“智慧”之处。具体而言：首先，建立项目，导入、转录课例视频，采用三秒一段的拆分方式，将内容进行细化处理。本视频时长为41 分24 秒，最终被拆分成828 个教学片段；
其次，对数据进行节点编码，即对视频进行解释说明；
再次，对编码进行整合，导出数据，并基于ITIAS 绘制表格，进行共时态分析；
最后，从动态维度对课例的进程进行历时态分析，揭示模型思想渗透的设计与流程。后者体现在——对视频观察、日常积累的关于模型思想渗透的经验事实，做出理性的概括与提炼并进行必要的论证，以形成具有普遍指导意义的模型思想渗透方略。

（一）静态断面扫描：教学行为的共时态分析

ITIAS 显示，教师行为占比约54%，学生行为占比为25%，而沉寂和技术分别占15%和6%左右，从时长上可判断教师注重指导。教师行为主要集中在讲授和总结部分。教师接受情感行为主要是师生间的问好，起到融洽气氛、拉近师生距离的作用。教师认可或复述学生的观点等采纳意见行为共出现49 次，约占教师行为总数的11%。提问行为共发生143 次，提问开放性问题与提问封闭性问题在其中的占比大致相当。讲授行为共发生101 次，占教师行为总数的23%，整个教学过程的12%左右。指示行为的占比与讲授行为基本持平。由此可推断，课例教师较为注重精讲和促进学生思考。

学生行为出现了207 次，尚不及教师行为的一半，且发生频率起伏较大。从应答行为看，被动回答共出现140 次。而主动回答只有46 次，主动提问欠缺，说明学生主要是跟随教师的引导进行思考。学生回答问题的行为发生频率高于教师提问行为的频率，表明学生能较快地掌握所学新知，从侧面反映出学生上课的集中程度、听课效率以及思维参与度较好。

沉寂（行为）共发生123 次，约占整个行为的15%，且变化波动明显。其中，无助教学的混乱共出现27 次，除学生回答问题时话筒传递导致的停顿外，还发生在教师提问后学生出现的短暂“静默”状态，说明无助教学的混乱在此不是真正的混乱。思考行为共发生37 次，主要表现为教师提问之后的静思以及同伴答问的判断。练习行为共发生59 次，约占沉寂行为总数的一半。练习在此主要是检测学生对模型的认识情况和促进学生对模型的理解与掌握。

技术行为主要反映技术与教学之间的联结，共发生52 次，在四大类行为中占比最低（约6%）。但教师操作技术在其中占多数（41 次），表明该教师具有将技术融入学科教学的意识，并具有一定的实操行为，在一定程度上起到提升学生学习兴趣、促进学生掌握知识以及帮助学生化抽象为具体（刻画模型结构）的作用。

将上述四种行为在单位时间的变化情况，经过处理放置在同一折线图中（见图2），可发现其在单位时间内的动态变化特征：其一，教师行为与学生行为之间的变化基本趋同，表明师生的互动较为频繁，并形成了师生双向互动的态势；
其二，教师行为与沉寂的动态特征呈现出此消彼长态势，表明教师的教与学生的学具有一定交换性和动变性，不仅仅局限于教师的教；
其三，学生行为和沉寂的变化具有一致性，折射出教师在教学中注重学生的主体性地位；
其四，技术行为与言语行为（包括教师行为和学生行为）的变化亦呈此消彼长态势，侧面反映出技术行为在一定程度上起到了辅助教学的作用。

图2 四种行为单位时间变化对比图

（二）动态流程透视：教学行为的历时态省察

如果说对教学行为的共时态分析，可以揭示教师在师生角色地位、互动方式以及技术运用等问题的认识与处置。那么，对教学行为的历时态直描，则可以更全面地了解教师在模型思想渗透的举措及其所折射出的运思与“智慧”。课例的教学过程大致分为四个阶段。

1.情境导入：创设情境，导入模型

课例伊始，教师问学生：“同学们在生活中见过平行和垂直吗？”这个提问的作用有二：一是促进学生将生活与数学进行联系，形成“数学与生活是密不可分或数学来源于生活”的意识；
二是激发学生的自主思考，积极地从已有认知经验中搜寻信息。在学生短暂思考后，教师继而提问：“你是怎样理解平行和垂直的？”引导学生将自己所理解的平行和垂直画出来，并将部分同学的作品进行展示。经过学生独立的思考与操作，在教师尚未讲解的情况之下，学生初步感知平行与垂直的模型概念与结构，为后期深层次学习模型打开通道。最后，教师引导学生对所理解的平行与垂直进行归纳、总结，以培养其用数学语言、符号表达数学模型的意识和习惯。

2.合作探究：点拨导学，构建模型

让学生初步感知模型后，教师引导学生自主学习书本知识，发现与之前理解的不同之处，并做出相应的纠错。此举有利于培育学生发现问题、自主学习的能力，还有助于帮助其了解模型的具体概念及核心特征。在学生初步建立模型结构后，接着教师与学生一同概括：“平行”指的是两条不相交的直线，用“∥”表示，读作a 平行于b，可以用a 平行于b、b 平行于a 以及a 与b 互相平行三种方式表示。在强化这些基本知识后，教师继而出示一幅图，让学生进行评价。通过教师的点拨与讲解，学生再次理解平行的含义，并掌握“直线是可以无限延伸的”这一知识点，在辨析中逐渐加深对模型结构特征的掌握。对于垂直部分的教学，亦基本与平行相似，通过一问一答的方式引导学生对垂直进行学习，包括垂直的定义、表示、读法和写法。

3.练习巩固：问题探究，应用模型

当学生学会从问题条件中归纳数学信息并构建模型之后，为巩固所学的模型，教师开始指引学生练习并利用模型进行并探究、解决实际问题。首先，让学生观察课件中所展示的立体图形，要求指出其中的平行线和垂直线；
随后，引导学生将注意力集中在教室这个空间，将立体图形和教室空间进行结合，再次引导学生说出教室里隐藏的平行线和垂直线；
接着，教师利用习题的讲练，解释平行的前提条件：在同一平面内。不难发现，教师在渗透数学模型时，注重与其他数学知识的结合（如立体几何）。事实也应如此，数学模型意识的培养或渗透，离不开学生数学符号意识、空间观念等素养的支撑与辅助。进言之，学生从认识模型到应用模型的过程，亦是其感受数学模型应用价值和数学文化的过程。

4.小结拓展：归纳总结，验证模型

在应用模型的基础上，教师首先通过系列提问，引导学生对平行和垂直进行分类和归纳，总结出这两个模型应用的范围与类型；
其次，通过多媒体课件展示生活中的平行与垂直，并通过一句“希望同学们课后带着数学的眼光去观察世界”，来帮助学生建立模型应用的意识，将模型带入生活之中；
最后，通过询问学生教学体会，借此呼吁学生“带着自己的收获回到自己的课堂”，由此表达用生活验证、解释模型之愿望。

模型思想渗透彰显教师对教学进程、教材内容等要素的处置。事实上，任何教学要素其范畴内部都存有若干不同的甚至相互对立的关系因子，需要我们加以认识并妥善处理。对于数学课堂模型思想渗透这么一项颇具挑战性的教学微观活动，至少要面对如下三对关系。

（一）课堂把控的“收”与“放”

课堂教学的“放”“收”平衡问题，可谓一直困扰着一线教师。小学数学课堂模型思想渗透亦有此困：一方面，课堂需要“收”即注重知识归纳与综合，以高效引导学生通过数学语言表达特定的数学结构；
另一方面，“收”得过紧又不利于学生激活思考、培育创造性思维能力，故而需要放手让学生独立思考、积极探索，但又不能任其自流、天马行空。合理的做法是寻求“收”“放”有度、“收”“放”有方。

“收”“放”有度意味着教师能适时地把主动权交给学生，让其充分发挥主动性和创造性。鉴于小学生身心特点、学习特征及模型思想渗透要求，教师行为占比不宜超过70%，且其中的讲授行为不宜超过教师行为的一半。在本课例，教师行为占比较为合理，讲授行为也不多（仅占教师行为的23%）。学生或独立思考，或参与讨论，似乱非乱，多数能自觉地在条件框架与问题情境下，寻求解决问题的方法和路径。一旦发现学生观点、思路有误或游离主题，教师须及时点拨、引导，给予扶持式的“收”以聚焦升华主题。因而，课堂看似“收”得严实，但教师点拨有方、导学得体，促成了学生心智活动真正地“放”。

“放”是手段、基础，“收”是目的、升华。“收”“放”有方意味着教师善于依循数学思想渗透的一般流程，巧设环节，灵活开展活动。在导入和分析模型时，可通过提问、图片或游戏等创设情境，诱发学生质疑、探索，并激活学生的想象力、转换与构造能力和直觉思维，从而为构建模型进行铺垫、点拨和导向；
在构建和应用模型时，引导学生将现实问题数学化，促成“事理”跃升为“数理”，在思维的聚合与发散的交替结合中，求解数学问题，解决生活实际问题。本课例，教师或讲授、或沉寂；
时而让学生自主想象、练习展示，时而提问归纳、指引导学。正是这一系列灵活的“收”“放”，促成了一个张弛合宜的模型化过程。可见，有度的“放”和适时的“收”，应交替进行、融为一体。

（二）教材处置的“破”与“立”

近二十年来，教育界一直呼吁“用教材教”。但将教材内容转化为实用有趣且富有意义的教学内容并非易事。更何况，如崔允漷教授所言，“清晰的目标是‘用教材教’的依据和前提，没有相对统一的清晰目标，倡导‘用教材教’是相当危险的”［11］。在小学数学课堂教学中，如何结合教材内容渗透模型思想，在专家编写的教科书中是找不到明晰的目标和路径的。笔者认为，践行“用教材教”理念，教师应寻求有“破”有“立”，“破”“立”结合。

“破”意味着教师摒弃“教知识”的旧观念、旧做法。知识仅仅是人类生活中的符号体系，它唯有跟具体情境结合起来才有价值。进言之，关涉学生成长的“硬核”是应用知识的智慧而非掌握知识的能力，这也是业界一直强调教学要“授人以渔”的重要缘由。数学教学更是如此。对于绝大多数人而言，数学知识在实践中的应用极为有限，但包括数学思维、数学方法和数学思想在内的数学素养却大有用处。数学教学的要旨便是以数学知识的学习为手段，提升学生数学素养。为此，教师必须摒弃“学生掌握知识、能做题就行”之类的想法，远离知识注入式教学，注重提升学生的观察、抽象、类比、迁移、分析以及综合等能力，以开启其智慧、涵养其心性。课例中，教师没有落入“教知识”的传统窠臼，而是寻求将生活与数学模型联系起来，让学生充分感知数学模型的意义和价值，这是用知识教的表现。

“立”意味着教师以学生建模为目的旨归，树立和培植转合、活用教材知识的意识与能力。促成学生用好数学知识、形成解题方法论，有赖于教师聚焦建模目标，彰显理解、整合、转构和活化教材知识的意识与能力。教师既要引导学生把不同时段甚至不同学科习得的教材知识，在课堂教学中进行整合与转化，从而构建一批数量可观、易于理解、包涉面更大的数学模型与范例，又要以身作则指导学生学会运用数学知识与思想，去观照、审视现实生活中的问题，彰显整合思维、化归思维与和合思维，从而扩充模型来源素材的同时，促成模型注“我”。课例小结拓展部分，教师通过课件和号召性言语，将学生的生活世界与数学学习进行联结，较好地体现并诠释了“模型来源于生活，服务于生活”的特征与内涵。

（三）师生互动的“深”与“浅”

叶澜教授曾指出：“教学过程的内在逻辑应当是多向互动、动态生成，教师与学生之间是一种对话、合作与沟通的关系。”［12］师生之间的对话与合作所形成的互动性影响，对于教学的顺利开展、教学质量的提升意义显要。如合理地提问，可有效地在师生之间建立起互动的纽带。然而，如前所述，学生主动提问和同伴讨论缺乏，且主动回答不及整个教学行为的6%，是否说明课例教师不注重互动行为或者说互动失败了呢？笔者并不那么认为，因为受时间与教学任务所限，课堂实践中的师生互动行为必然是有“深”有“浅”，关键要看实际效果。而师生互动行为的成效受制于互动方式的丰富性与层次性，更取决于互动内容的开放性与深刻性。

浅层次的互动行为主要存在于教师接受情感、鼓励表扬以及师生简单的问答层面，此类行为达成活跃学习气氛、激发学习动机以及串联教学环节的功效即可，不必在此“浓墨重彩”。但互动方式的丰富性和层次性要予以保证。丰富性意味着问答、练习和讨论这传统“三大件”尽可能齐全，有时还得增加表演、游戏等互动方式。层次性意味着提问和练习设计具有多维性、层次感。课例中的互动便较好地体现了层次性。如学生做练习分成了三个部分，由浅入深，类型丰富多样，为学生理解模型、运用模型解决问题奠定了基础。鉴于小学生认知能力与思维特点，模型思想渗透应彰显“层层剥笋”特点，提问与课堂练习设计的层次性不容轻视。

深层次的互动主要体现并有赖于互动内容的开放性和深刻性。开放性意指所提问题和练习内容具有明显的发散性和综合性，能引发和促进学生多维思考、多技能参与和综合学力历练。课例教师针对学生的回答，引导学生对书本内容进行自主学习，比较和探查自己所理解的平行和垂直有何不足，便体现了开放性特点。深刻性意指讲授、所提问题和练习内容具有较强的拓展性和启迪性，能帮助学生建立模型，并将自己所理解的模型用以解决实际问题。省察课例渗透“平行与垂直”模型之过程，不啻为一种以问题解决为目标指向的变式训练、学生思维拓展训练，其互动的深刻性不言而喻。

（一）主要发现

整合并提炼前述研讨的“意义碎片”发现，课例在促成模型思想渗透方面教学得法、成效明显，并彰显出如下特点。

1.数学化的学习内容设计

数学化不仅是模型思想渗透的要求，而且是数学学习的终极目标。课例教师善于构建生活与数学之间的联结，从背景材料、问题设计和思维拓展这三个维度对学习内容进行精心设计，教材处置“破”“立”结合，寻求“生活问题数学化”。这种运用数学语言分析问题、探究规律的综合设计，促成了学习内容生活化的同时，让数学问题“原型化”，有利于学生培养符号意识、问题意识，体会数学模型对现实世界的描摹与反映，提升数学学习的兴趣，进而有助于学生利用数学模型思想解决实际问题。

2.过程化的学生主体参与

学生作为模型思想渗透的主体，唯有其自主性、能动性和创造性受到激发，才能激趣、化难和启智。课例教师为促成学生实现直观与抽象的相互转化，其提问、讲授和练习设计等，都寻求彰显学生的主体性和参与性——不仅内容贴近学生的生活世界，注重师生互动方式的丰富性与层次性和互动内容的开放性与深刻性，而且还善于引导学生主动地建构知识，从数学问题中归纳模型、建立模型，从而让教学成为一个学生全程参与和深切体验发现问题、求解问题和应用问题的过程。

3.有序化的教学进程把控

中小学生认知基础尚不厚实，对其进行模型思想渗透须遵循由浅入深，从概念理解到灵活变换的顺序逻辑。课例教师不但善于运用问答法和演示法，依循学生的身心发展特点和现有水平基础，安排适量的教学内容和合理的思考时间，促成四大教学行为交替发生、有序开展。而且，还深谙数学建模之道，对于模型思想渗透进程掌控自如，“收”“放”有方——在学生初次认识模型时，注重概念辨析和特征揭示，以帮助其把握模型的基本结构与旨趣；
在学生理解模型后，则逐渐加深问题的复杂性、灵活性和发散性。

（二）渗透方略启示

模型思想渗透是数学课堂教学永恒的主题，是个技术活、系统活。教师须不断总结经验，优化渗透策略，以免让模型思想渗透落入低效难为的窘境。基于课例启示并按照数学建模的一般流程，我们提出如下小学数学课堂模型思想渗透方略。

1.背景材料生活化。认识模型作为模型思想渗透的第一步骤，需要教师创设必要的意义背景，寻求背景材料生活化。背景材料生活化有两方面的意蕴：一是所设立的问题来源于学生的生活世界，契合学生认知；
二是所创设的主题情境生活化，契合生活常态。背景材料生活化，便于对学生进行多维启发、综合陶冶，这种烘托与铺垫利于其发现问题、认识模型。当然，教师提供的背景材料可不完全源自学生的真实生活事件，模拟可操作的生活性事件、学生认知发展到一定阶段后所产生的内在逻辑需要等，都可成为素材。

2.图式构建兼容化。在分析模型这一阶段，需要促成学生构建与模型相兼容的思维图式，以准确把握模型核心特征。教师要兼顾学生思维特点与数学模型特征，巧妙设计、耐心铺垫和精心指引。最为紧要的是通过一系列包涉性与延展性俱佳的操作，增进学生对问题的理解以达成其对模型的兼容，即深度把握和完整表达模型。学生构建与模型相兼容的思维图式，有赖于其彰显模型感受意识、问题表征与理解意识，这绝非一蹴而就之事。“数学教学是数学文化的教学，数学学习是数学文化的学习”［13］。鉴于模型的抽象性、图式构建的复杂性以及小学生思维的直观性和简单性，教师要给予学生足够的精神自由与思维空间，让其浸淫于“数学文化”去感悟、碰撞与兼容，从而增强思维转化能力进而培植模型思维。

3.模型建构参与化。美国泰德·霍奇森（Ted Hodgson）等人的数学建模过程特征图表明，“现实问题情境是对系统地阐述问题的简化，而系统地阐述问题是对现实情境的检验”［14］。系统地阐述问题实际上是一种建立模型以解释、解决问题的数学化过程。过程参与是学生实现从问题情境中抽象出模型的前提与要求，做好下面两点比较重要：一是充分保障学生的主体地位，引导和助推同伴交流与互动，取长补短。学生生成所需的系列化、结构化思维，固然离不开教师的指导，但生生之间的“辩论”亦不可或缺。它可以快速地促使学生意识到自身的不足，提取自己所缺失的那部分信息，从而有利于其完整的认识模型；
二是引导学生运用数学化的眼光去审视、表达问题。教师既要善于指导学生通过观察和思考问题情境，从中捕捉到可操作的数学信息和数学符号。又要巧妙引导学生概括模型结构，尝试用数学语言进行总结和表达，以提升其数学化意识进而培育其模型思想。

4.问题解决变式化。模型思想渗透的最终结果是应用模型，即将静态的模型思想转变成动态的、数学化的思维过程和解决思路。要实现这样的转变，进行相关问题训练是理所应当的：一是寻求正反例证的交替运用。肯定的例证能够从正面为学生提供证明，以直接明了的方式告知学生所用模型的类型，学生能够快速从所学知识中提取信息、解决问题。否定例证则能够从变化的角度促进学生对所用模型的核心特征加以理解和巩固，以不变应万变。交替运用正反两种问题思路，可帮助学生透过表面解读深层次的表达含义，从而有效提升其对所学模型的认识与理解；
二是增强各种变式训练。正反例证利于辅助学生概念学习，而变式训练则利于促进学生问题解决能力的提升。教师要有目的、有计划地组织一题多变、一题多解和一模多用等习题训练，使其看到问题想到相关知识、模型，看到知识、模型想到相关问题，从而拓展学生的多向思维，培养其全方位、多层次分析与解决问题的能力。

国际之间的综合国力竞争，归根结底是教育尤其是基础教育之间的竞争。在国际竞争愈发倚重科技创新的当下，笔者探讨小学数学模型思想渗透问题，唯愿有关部门和人员对此愈加重视，切实改进小学数学教学，积极提升小学生运用模型思想解决实际问题的能力，为这波“后浪”的奔涌推波助澜。

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