多种初条件下朗道-齐纳转化动力学的变分法研究

王 璐，宿淑晶，韩向刚

(内蒙古科技大学理学院，内蒙古 包头 014010)

朗道-齐纳模型描述了一个被随时间线性变化的外场驱动的二能级系统 (自旋或量子比特).由于存在线性改变的驱动外场，自旋上态和下态间将发生能级回避(avoided crossing)[1-2].人们对于朗道-齐纳模型在时间趋于无穷时的行为已进行了许多研究.Hänggi及其合作者[3-4]系统地研究了朗道-齐纳转化概率在时间无穷远处的渐近行为.Nalbach等[5-7]人研究了热涨落对朗道-齐纳转化概率渐近行为的影响.由于绝热量子计算的兴起，近年来朗道-齐纳模型又开始受到重视[8-9].人们开始关注朗道-齐纳模型在中等时间区域的动力学行为[10].在这一时间区域，初始条件的影响是重要的.至今，初始条件如何影响朗道-齐纳模型的动力学行为还没有被很好地理解.

本文研究的是与光子库相互作用的朗道-齐纳模型.对这一模型，解析求解是困难的.据作者所知，尚没有一个方法可以解析求出与光子库相互作用的朗道-齐纳模型的动力学行为.因此，各种用于求解朗道-齐纳模型的半解析或数值计算方法就被发展起来[5,10].本文将使用基于多重达维多夫D2试探态 (Multiple Davydov D2Ansatz) 的变分法求解朗道-齐纳模型[10-11].这一方法的特点是可以一致地处理自旋与光子库的运动.运用这一方法，不仅可以求得自旋的动力学，还可以求得光子库的动力学.

1.1 模型

原始的朗道-齐纳模型为一个二能级系统，哈密顿量(采用ћ=1的自然单位制)为

(1)

式中,σx，σz是泡利矩阵.σz的本征态 |↑〉 和|↓〉 被称为非绝热态 (diabatic states).这两个态满足σz|↑〉=|↑〉 和σz|↓〉=-|↓〉.Δ表示隧穿强度，刻画了系统在非绝热态间隧穿的强度.v是能级交叉速度，表示两个非绝热态间能隙改变的相对速度.朗道-齐纳模型可以用于描述受外场控制的自旋.在量子光学中，自旋要与腔中的电磁场或共面传输线谐振器产生的电磁波相互作用.研究这两类模型的物理分支常被分别称为腔量子电动力学[12]和电路量子电动力学[13-15].

考虑了电磁场后，总哈密顿量为

H=HS+HB+HSB,

(2)

式中：HB是光子库的哈密顿量，HSB是自旋与光子库的耦合哈密顿量.

光子库哈密顿量为

HB=ωb†b,

(3)

式中,ω是光子的频率，b†(b) 是光子库的产生 (湮灭) 算符.自旋与电磁场间的耦合为线性非对角耦合

(4)

式中：γ是自旋与光子库的耦合强度.需要指出，自旋与光子库的耦合方式并不唯一，还有对角耦合或同时考虑对角与非对角的耦合等[10-11].之前人们较多考虑对角耦合，但对非对角耦合的考虑还不够.因此，文中考虑非对角耦合情况.本文选择光子能量ω为能量单位，即令ω=1.

1.2 计算方法

原始的朗道-齐纳模型可以被解析求解[2].在考虑自旋与光子库的耦合后，至今没有找到一般的解析求解方法.文中将采用基于多重达维多夫D2试探态的动力学变分方法 (以下简称变分法) 求解这一问题.变分法的试探态可以写为

(5)

式中，|0〉 是光子库的真空态，H.c.表示厄米共轭，Ai(t)，Bi(t)，fi(t) 是含时变分参数，M称为达维多夫试探态的多重度 (或重数).当M=1即为传统的单重达维多夫D2试探态(single DavydovAnsatz).M>1的情况为近年来发展起来的多重达维多夫D2试探态 (以下的试探态均指D2试探态).变分法的目标就是求出Ai(t)，Bi(t)，fi(t)这组变分参数的时间演化方程.为利用含时变分原理 (time dependent variational principle)，引入拉格朗日函数

(6)

(7)

式中,ui指代变分参数Ai(t)，Bi(t)，fi(t)，*表示复共轭.显式的变分参数演化方程可参考文献[10].

1.3 可观测量

(8)

为了探究光子库的演化，将计算光子库在自旋处于上态或下态时的概率

(9)

及

(10)

(11)

计算这两个概率.

2.1 初始态

在模拟的开始，令自旋处于上态 |↑〉，光子库处于真空态 |0〉 或薛定谔猫态|α〉θ.为使用达维多夫试探态表示真空态，可以令A1=1，B1=0，f1=0，Am=Bm=0，fm=0 (m=2，3，…，M,其中m标记了公式(5)中i的不同取值).薛定谔猫态，

(12)

由两个相干态叠加而成.θ是薛定谔猫态中的叠加相位，

(13)

是薛定谔猫态的归一化因子.相干态 |α〉 是最接近经典态的量子态，具有最小的不确定度.薛定谔猫态是两个最接近经典态的量子态的叠加.当θ为零时，薛定谔猫态 |α〉0是偶宇称态，称为偶态 (even states).当θ为π时，态 |α〉π是奇宇称态，称为奇态 (odd states).当θ为π/2时，态 |α〉π/2没有确定的宇称，称为YS (Yurke-Stoler) 态[16].由公式(5)可知，可以用达维多夫试探态近似表达薛定谔猫态.令A1=1，A2=eiθ，B1=B2=0，f1=α，f2=-α，A2m-1=A2m=B2m-1=B2m=0，f2m-1=f1，f2m=f2(m=2，3，…，M/2),就可以给出与薛定谔猫态 |α〉θ相等的达维多夫试探态.

为了求解过程中保持数值稳定性，对于真空态，向Am=Bm=0 (m=2，3，…，M)加入了绝对值上限为10-4的噪音，向fm=0 (m=2，3，…，M)加入了绝对值上限为10-2的噪音.对于薛定谔猫态，向A2m-1，A2m，B2m-1，B2m入绝对值上限为10-4的噪音，对f2m-1，f2m加入绝对值上限为10-2的噪音.为简单起见，文中将α限定为实数.

2.2 数值结果与讨论

(a)转化概率的演化.(b)-(d)下态所对应的光子库演化.计算参数v/ω2= 0.01，γ/ω= 0.05，Δ/ω= 0.(b)和(d)中的数据的辐度很小，可以认为是零.图中虚线标记了发生朗道-齐纳转化的时刻t/ω-1=100图2 从真空态出发的朗道-齐纳动力学Fig.2 The Landau-Zener dynamics starting from the vacuum state

为讨论本文的数值结果，将哈密顿量(2)对角化，得到一系列随时间改变的本征值.因为光子部分自由度和自旋部分自由度相互耦合，所以能量本征值和光子的个数及自旋的z方向投影有关.以与 |0〉 有关的态为例，说明能级如何随时间变化.在时间t<0时，|0,↑〉 的能量低于 |0,↓〉 的能量.随着时间的增加，|0,↑〉 的能量逐渐增加，而 |0,↓〉的能量逐渐减少.在t/ω-1=ω2/v处，|0,↑〉与|1,↓〉交叉，在t/ω-1=-ω2/v处，|1,↑〉与|0,↓〉交叉.如图1所示，用竖直的虚线将能级交叉点标示出来了.在远离交叉点处，能量耦合项的系数γ/2远小于σz前的系数vt/2.因此，除了在交叉点附近，耦合项的贡献可以略去，系统在非绝热态表象中是近似对角的.在能级交叉处，耦合项相当于给出了一个动态的非对角元.故在这些地方能级将发生分裂，即发生能级回避.在时间等于零时，对角化的结果显示并不会发生能级分裂.在能级回避点附近，将可能发生朗道-齐纳转化.是否在这些点发生朗道-齐纳转化，和速度的大小是有关的.若从某一能级出发，当v趋近于零时，系统只会一直处于能量较低的态中.在这种情况下，不会发生朗道-齐纳转化.当v为有限大时，将可能发生朗道-齐纳转化.对于中等时间区域，动力学行为将与初始态有关.后文将讨论不同初始条件对动力学行为的影响.

首先讨论从真空态出发的朗道-齐纳问题.选取速度v/ω2= 0.01，耦合强度γ/ω= 0.05.如图2(a)所示，转化概率PLZ从t/ω-1=-300到60的值一直接近于零.在t/ω-1=100处，PLZ迅速增大，达到大约0.4左右，之后在平衡位置附近振荡.最终振荡趋近于PLZ=0.33.当γ≪ω系统接近弱耦合区域，当v≤γ2外场变化接近绝热的.对于弱耦合情形，可以用微扰论处理.对由真空态出发的朗道-齐纳问题，前人基于微扰论的理论结果显示当t/ω-1→∞时[3,17]，有

(14)

数值结果与理论结果是相符的，这表明计算是可靠的.在外场变化接近绝热时，可以利用图1的能级图理解.在能级回避点附近，系统将处于自旋上态|0,↑〉和下态|1,↓〉的叠加态c(v)|0,↑〉+d(v)|1,↓〉.因此在t/ω-1=100附近可以观察到自旋处于上态的概率迅速增大.由于处于叠加态，可以观察到自旋的期望值随时间振荡.

以往，人们研究朗道-齐纳问题，多仅关注自旋的动力学.变分法不仅可以准确计算自旋的动力学，还可以处理光子库的动力学.如图2(b)-(d)所示，计算了光子库Pn,↓的动力学.如图2(b)和(d)所示，P0,↓和P2,↓非常小，在数值误差内，可以认为P0,↓和P2,↓等于零.对于从真空态出发的情况，仅有光子库的概率P1,↓是非零的.如图2(c)所示，在t/ω-1=100附近，P1,↓迅速增大.光子库的行为与图2(a)中转化概率的行为相似.更重要的是，如图1的能级图所示，转化是在|0,↑〉和|1,↓〉间发生的.从光子库的动力学，清晰地观察到P1,↓在t/ω-1=100附近增大.这一行为符合能级图的预言.这表明变分法可准确提取出朗道-齐纳转化与哪些光子态有关.

从真空态出发的动力学是较为简单的.仅从能级图就可以分析出转化和哪些能级有关.但如果初始态更加复杂，仅凭能级图将难以分析出参与转化的能级.下面使用更复杂的薛定谔猫态作为初始条件.

(a)转化概率的演化.(b)-(g)上态或下态所对应的光子库演化.计算参数v/ω2= 0.01，γ/ω= 0.05，Δ/ω= 0.图中箭头标记了从|1,↑〉和|2,↑〉态出发所经历的转变的时刻t/ω-1=100图3 从α=2的YS态出发的动力学Fig.3 The dynamics starting from α=2

首先利用能级图定性理解从薛定谔猫态初始的朗道-齐纳问题.相干态可以写为[18]

(15)

根据薛定谔猫态的定义(12)，对于YS态，θ=π/2，在演化开始时(t/ω-1=-300)，系统有一定的概率处于各个福克态上.并且这些态彼此间并非是按照经典概率相互叠加的.

为进一步定量理解动力学过程，如图3所示，计算了从 |α|2=2 的薛定谔猫态出发的朗道-齐纳转化概率及处于光子态的概率.除了初始态，其他参数与图2相同.在图3(a)中，转化概率在t/ω-1=-140前约等于零.在t/ω-1=-100附近迅速上升，之后转化概率稳定在PLZ≈0.7.在t/ω-1=100附近，转化概率迅速下降，最终转化概率稳定到PLZ(∞)≈0.09.由于初始时系统有一定概率处于各福克态上，故在图2中发生能级回避的时间点t/ω-1=±100处都会发生转化.由前人的理论工作[19]，中间段的转化概率可利用旋转波近似解出.文献[19]由一个与本文稍有不同的，具有常偏置ω0σz/2的哈密顿量出发，给出t/ω-1处于-ω2/v至ω2/v之间的转化概率为，

(16)

式中，P↑,0=exp (-πγ2/(2v))是若系统开始处于|0,↑〉态，在t/ω-1→∞时自旋处于|↑〉的概率.公式(16)仅适用于较短时间的区域，在t/ω-1→∞的行为不能用旋转波近似得到.这是因为，旋转波近似仅考虑了|n,↑〉到|n+1,↓〉的转化.而在长时间区域反旋项的贡献不能忽略.在t/ω-1=100附近，转化概率又回落到接近零.这一特征与从真空态出发的朗道-齐纳转化概率的特征很不同.造成这一现象的原因是高激发态参与了动力学过程.

为了分析参与转化的能级，将最低几个能级的光子库的演化画在了图3(b)-(g)中.将分析从|1,↑〉和|2,↑〉两个态出发，系统所经历的动力学过程.这两个态分别可以作为一次转化与二次转化的例子.如图3(e)所示，从|1,↑〉出发，光子库在t/ω-1=-100出现下降，系统转移到了图3(b)所示的|0,↓〉态中.经过这次转化后，|0,↓〉态将不发生能级回避，故而图3(b)中的概率P0,↓将不再发生转化.图3及图1中，将从|1,↑〉到|0,↓〉的转化用细线箭头标出了.如图3(g)所示，P2,↑在t/ω-1=-100处发生了下降，状态由|2,↑〉转化到了|1,↓〉(图3(d)).P1,↓在t/ω-1=100处发生下降，|1,↓〉转化到了|0,↑〉(图3(c)).|2,↑〉→|1,↓〉→|0,↑〉的转化，使用粗线箭头在图3和图1中标出了.除最低的能级|0,↑〉和|1,↑〉，其他能级有类似的转化方式:|n,↑〉→|n-1,↓〉→|n-2,↑〉.

由上面的分析，在笔者使用的参数下，系统的动力学基本是由哈密顿量的瞬时本征值控制的.这是因为v≤γ2，外场变化接近绝热变化.需要注意的是，从|0,↑〉出发，类似真空态出发的情况，图3(d)中，在t/ω-1=100处本应发生P1,↓的上升.但由于存在|1,↓〉→|0,↑〉的转化，P1,↓在t/ω-1=100处实际是下降的.从上面的分析，可以看出，利用光子库的演化，人们可以更细致地理解多能级的朗道-齐纳转化具体与哪些能级有关及具体的转化路径.

(a)中段转化概率PLZ,1随薛定谔猫态的相位的变化.(b)最终转化概率PLZ(∞)随薛定谔猫态的相位变化.圆圈为公式(12)中薛定谔猫态的|α|2=1，三角为|α|2=2，方块为|α|2=3.计算参数v/ω2= 0.01，γ/ω= 0.05，Δ/ω= 0.图中穿起符号的虚线是由公式(17)拟合而得到的图4 不同相位θ的薛定谔猫态对相继两个转化概率的影响Fig.4 The average height of transition probabilities of the two consecutive transitions as functions of phase θ of the Schrödinger-cat states

下面研究不同的薛定谔猫态的相位θ对动力学渐近行为的影响.由图3所示，系统由于在t/ω-1=±ω2/v处有能级回避点，故会发生两次转化.将第一次转化后的平均位置称为中段转化概率PLZ,1，将第二次转化后的平均位置称为最终转化概率PLZ(∞).对|α|2等于1，2和3的薛定谔猫态进行了模拟.从θ=0至2π的区间上，均匀取出20个点进行了模拟，以研究不同的薛定谔猫态的叠加相位对动力学渐近行为的影响.分别测量了这些初条件下的PLZ,1和PLZ(∞)，并将它们作为θ函数(见图4).

图4(a)展示了不同|α|2的中段转化概率PLZ,1如何随θ变化.对于相同的|α|2，中段转化概率从θ=0开始随θ增大而增大，直到达到θ=π，之后PLZ,1随θ增大而减小.PLZ,1作为θ的函数关于θ=π对称.如前文所述，θ=0和π分别称为偶态和奇态.数值表明，奇态更有利于中段转化概率的增大.对相同的θ，PLZ,1随|α|2的增大而增大.根据前文所述，由旋转波近似，文献[19]导出了公式(16).由公式(16)可以看出，随|α|2的增大，PLZ,1将会增大.另外，对于|α|2=3，可以观察到，中段转化概率随θ的改变较|α|2=1或2时小得多.

图4(b)展示了不同|α|2的最终转化概率随θ改变的变化规律.与中段转化概率相似，对相同的|α|2，PLZ(∞)随|α|2的增大而增大，直到达到θ=π，之后PLZ(∞)随θ增大而减小.PLZ(∞)关于θ的函数关于θ=π对称.对于相同的θ，PLZ(∞)随着|α|2的增大而减小.出现这一现象的原因是，随着|α|2的增大，在更高的福克态上，光子将具有更大的概率.而在高激发态，如图1所示，能级间的能隙更大.前文分析了，在t/ω-1=100处的转化主要是|n,↓〉→|n-1,↑〉的转化.事实上，这一转化的概率一般不是1.能隙越大，这一转化的概率越接近1.按定义，PLZ(∞)是自旋处于下态的概率.转化向上态的概率增大自然会减小自旋处于下态的概率PLZ(∞).

图4不同相位θ的薛定谔猫态对相继两个转化概率的影响.(a)中段转化概率PLZ,1随薛定谔猫态的相位的变化.(b)最终转化概率PLZ(∞)随薛定谔猫态的相位变化.圆圈为公式(12)中薛定谔猫态的|α|2=1，三角为|α|2=2，方块为|α|2=3.计算参数v/ω2= 0.01，γ/ω= 0.05，Δ/ω= 0.图4穿起符号的虚线是由公式(17)拟合而得到的.

为了探究PLZ,1和PLZ(∞)随相位θ的变化规律，将所得到的数据进行了拟合.拟合公式为

(17)

式(17)是由式(16)启发而得到的.将拟合系数列为在表1中.旋转波近似得到的公式(16)只适用于PLZ,1.尽管公式(17)是接近由旋转波近似得到的式(16)，但式(17)可以用于拟合PLZ(∞).

表1 由公式(17)拟合图4中数据的拟合系数Tab.1 Fitting parameters for data in Fig.4 with Eq.(17)

2.3 结论

本文研究了初始条件对朗道-齐纳转化概率的影响.利用光子库的动力学演化细致地理解朗道-齐纳转化与哪些能级有关及具体的转化路径.之后对初始条件的参数空间进行了探索，研究了不同的薛定谔猫态的及相位对中段转化概率及最终转化概率的影响.同时根据数值模拟结果，得到了可以统一拟合及的拟合公式.

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