两种仿金属晶体结构晶格材料的等效弹性参数研究
时间：2023-06-01 11:40:31 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
郭 璐，吴桂英，王志华
(太原理工大学 机械与运载工程学院，应用力学研究所，太原 030024)
晶格材料由于具有优异的比刚度、比强度且可表现出较好的韧性，近来得到了广泛关注[1]，其可集成晶格结构和复合材料的优势，实现在材料和结构两个层次上的优化，在航天航空、交通运输等领域都存在广阔的应用前景。与传统轻质材料相比，晶格材料由精细且规则的单元晶格结构周期性排列而成，其力学性能高度依赖于单元晶格的特性。目前光刻及增材制造技术可以实现对晶格结构的小尺度几何控制[2-3]，从而制造出具有各种不同优异力学性能的晶格材料。这些晶格材料大致可分为桁架晶格、壳晶格及板晶格，其中桁架晶格主要由结点连接的杆构成[4]，壳晶格由弯曲薄壁壳构成[5]，而板晶格则由封闭薄板构成[6]。
早期关于桁架晶格的研究主要集中于力学性能与相对密度之间的关系[7]。对常见的晶格材料主要分为[8]：拉伸主导型晶格(细观杆或晶格壁通过轴力作用来抵抗外载荷且其他内力可忽略不计)，其力学性能与相对密度间呈线性关系；
弯曲主导型晶格材料(杆或晶格壁主要承受弯矩作用)，其等效杨氏模量及单轴压缩强度满足非线性幂率关系[9]。在以往的研究中，对弯曲型主导晶格理论分析常用的是经典的Euler-Bernoulli梁模型，该模型假定杆件具有较大的长径比，仅考虑弯曲变形的影响。但当晶格长径比相对较小时，必须同时考虑纯弯曲和剪切变形[10]的联合作用。对于拉伸主导型晶格的研究，通常采用Truss模型[11]对其进行理论分析，不考虑晶格细观杆件弯矩等其他内力的影响。
本文采用Timoshenko梁模型分别建立了BCC及新型FCC晶格材料等效杨氏模量的理论模型，分析了晶格结点、剪力等因素对其等效杨氏模量的影响。此外，建立了两种晶格材料等效剪切模量及泊松比的理论模型，讨论了晶格结点对结果的影响。利用ABAQUS对BCC及FCC晶格材料的弹性力学行为进行数值模拟研究，并与现有实验研究[4]及相应理论模型进行了对比。
1.1 晶格材料模型
两种仿金属晶体结构的单元晶格如图1所示。基于金属微观较常见的面心立方(FCC)晶体结构，构造了一种新颖的FCC晶格单元，如图1(b)所示，考虑到设置z方向杆件的晶格材料在外载作用下极易因竖直杆件的屈曲而导致材料整体破坏，本文FCC单元晶格中未添加竖直支撑杆件。此外，在图1(b)所示FCC晶格框内添加八面体晶格单元，可得常见的具有较高比刚度的Octet[11]单元晶格。故具有相同单元晶格体积及杆件尺寸的FCC比Octet晶格有更小的相对密度，更加符合“轻质化(减轻材料相对密度的同时提高等效刚度)”需求。目前已有大量研究者对BCC晶格材料(图1(a))的弹塑性力学行为进行了较全面的研究[12]。而有关图1(b)所示FCC晶格材料的相关报道很少见。根据DSHPANDE et al[8]提出的Maxwell"s准则，假设单元晶格各结点连接杆数为Z，则拉伸主导型晶格拓扑构型需满足Z≥12，即BCC属于弯曲主导型晶格，FCC属于拉伸主导型晶格。
图1 两种仿金属晶体结构的单元晶格Fig.1 Unit cells of two lattice materials mimicking metal crystal structures
1.2 晶格材料相对密度
GÜMRÜK et al[12]假设晶格材料结点为球体(图1(a))，确定BCC晶格材料的相对密度为：
(1)
(2)
图2 相对密度理论模型与CAD模型结果的比较Fig.2 Comparison of the predictions for relative density from theory and CAD models
2.1 晶格材料柔度矩阵
如图1所示BCC与FCC单元晶格的立方对称性决定了其线弹性应力应变关系可由式(3)表述。可通过确定各单元晶格的等效杨氏模量(E*)、泊松比(ν*)及等效剪切模量(G*)来确定晶格材料的柔度矩阵。
(3)
2.2 BCC晶格材料的等效弹性参数
2.2.1BCC晶格材料的等效杨氏模量
BCC单元晶格承受单轴压缩载荷时其力学简图如图3所示。基于Timoshenko梁[12]理论，考虑杆件承受轴力、剪力及弯矩的联合作用，确定N1=psinθ/4，F1=pcosθ/4，其中p=σzL2为简化的集中力载荷。根据对称性①杆在z方向位移为：
(4)
图3 单轴压缩下BCC晶格材料力学简图Fig.3 Mechanical diagram of BCC lattice materials under uniaxial compression
其中，k1为基于晶格细观杆横截面形状的剪切因子；
I为杆截面惯性矩；
Es，Gs分别为杆基体材料杨氏模量及剪切模量。可得BCC晶格材料等效杨氏模量为：
(5)
2.2.2BCC晶格材料泊松比
与式(4)类似的，可知单轴压缩载荷作用下BCC单元晶格①杆沿x方向(图3)位移为：
(6)
联立式(4)可得材料泊松比为：
(7)
2.2.3BCC晶格材料等效剪切模量
假设BCC晶格在x-y平面内发生面内剪切，如图4所示。
(8)
图4 平面剪切BCC晶格材料受力简图Fig.4 Schematic diagram of BCC lattice materials under in-plane shear
(9)
整理得到BCC晶格结构等效剪切模量为：
(10)
2.3 FCC晶格材料的等效弹性参数
2.3.1FCC晶格材料泊松比
据DSHPANDE et al[8]提出的Maxwell"s准则，FCC单元晶格属于拉伸主导型晶格。HE et al[13-14]通过假设拉伸主导型Octet单元晶格细观杆件的自由体变形模式(图5(b))对其等效弹性参数进行了推导。类似地，假设FCC单元晶格单轴压缩载荷下①杆变形模式如图5(b)所示。
图5 单轴压缩载荷下FCC 1/4单元晶格受力简图Fig.5 Schematic diagram of FCC 1/4 unit lattice under uniaxial compression
考虑FCC单元晶格对称性，取其1/4单元晶格进行分析(图5(a))，①，②杆受力相等且有相同的变形模式。仅考虑杆件的面内变形，根据图5(b)几何关系及Timoshenko梁模型有：
(11)
(12)
(13)
由式(11)可知，①、②杆剪力与轴力的比值正比于(d/L)2，忽略二阶小量并考虑FCC单元晶格在J1结点处沿x轴受力平衡，整理式(11)、式(13)可得δz与δx之间关系，并确定FCC晶格材料泊松比为：
(14)
2.3.2FCC晶格等效杨氏模量
考虑晶格J1节点处沿z轴方向受力平衡，即2N1sinα+2F1cosα=P/4，综合上式并整理式(11)、(12)、(13)、(14)可得FCC晶格材料等效杨氏模量为：
(15)
2.3.3FCC晶格材料等效剪切模量
FCC单元晶格在x-y平面受剪应力作用如图6所示。认为周期性排列FCC晶格材料中J1节点刚度大于J2节点(图6(b))，即J1节点处不易发生变形。为简化理论模型，仅考虑③杆承受轴力作用(图6(b))：
(16)
(17)
图6 x-y平面剪切下FCC单元晶格受力Fig.6 Unit lattice of FCC subjected to shear loading in x-y plane
利用ABAQUS对上述两种晶格在不同应力状态下的线弹性力学性能进行数值模拟研究。ZHANG et al[15]通过数值研究表明对于d/L小于0.125的晶格材料，单元晶格细观杆的梁单元或实体单元网格划分对晶格材料线弹性力学性能的影响可忽略不计。但当d/L大于0.125时，实体单元网格划分则明显优于梁单元[12]。使用C3D4实体单元对单元晶格细观杆进行网格划分如图7所示。对单元晶格施加周期性边界约束[16]，即在单元晶格相对面上建立约束方程且保证相对面上网格节点一一对应，取单元晶格8个顶点为主节点，定义主节点与各面内网格节点的位移边界条件，通过设置主节点自由度及位移加载来模拟不同应力状态下的晶格材料弹性力学行为[16]。
研究文献[12]表明对于晶格特征尺寸L取1.25～8 mm范围内的晶格材料，具有相同d/L参数的同种晶格材料具有大致相同的弹性力学性能。为节约计算资源，建立5 mm×5 mm×5 mm的BCC及FCC单元晶格，通过改变杆直径尺寸确定晶格材料d/L参数。对不同d/L参数的晶格模型均进行了网格敏感性分析，以图7(c)所示d/L=0.15的BCC晶格为例，当网格尺寸小于0.15 mm时，其线弹性应力-应变曲线误差较小且等效杨氏模量误差小于4%，忽略不计，故取有限元模型网格尺寸为0.15 mm.
图7 有限元模型及网格敏感性分析Fig.7 Finite element model and mesh sensitivity analysis
材料模型采用各向同性理想弹塑性模型[17]，弹性模量为140 GPa，材料遵循Mises屈服准则，屈服强度为0.144 GPa，泊松比为0.3.
如图8所示为d/L=0.12，5 mm×5 mm×5 mm的FCC单元晶格在不同应力状态下变形模式及Mises应力分布图。在x-y平面剪切应力状态下，1/4单元晶格中③杆内力最大，比其他杆中内力值大近一倍(图8(b)).验证了FCC等效剪切模量理论模型的基本假设是合理的。
图8 不同应力状态下FCC单元晶格的变形模式与Mises应力分布图Fig.8 Deformation form and Mises stress distribution of FCC unit lattice under different stress states
4.1 BCC晶格材料的归一化等效弹性参数
为排除基体材料的影响，仅考虑单元晶格构型对晶格材料等效弹性参数的影响，将晶格材料等效杨氏模量及剪切模量归一化为E*/Es，G*/Es.
如图9(a)所示为BCC晶格材料在单轴压缩应力状态下的归一化等效杨氏模量理论计算结果、数值模拟结果及实验结果[17]的对比。验证了理论模型及数值模拟结果的准确性。
图9 不同应力状态下BCC单元晶格的归一化等效弹性参数与数值模拟结果对比Fig.9 Comparison between theoretical and numerical simulation results of equivalent elastic parameters of BCC materials under different stress states
采用Timoshenko梁模型的理论模型结果与数值模拟结果吻合最好(图9(a)黑色实线)。忽略轴力作用同样可以得到较准确的理论结果(图9(a)红色划线)，即单轴压缩载荷下BCC晶格弹性阶段各细观杆件的拉压变形很小，可忽略不计。对d/L大于0.1的BCC晶格材料，忽略单元晶格中结点的影响(图9(a)蓝色点线)会使理论计算结果偏小，例如当d/L=0.15时，其理论结果与数值模拟结果相对误差为40.6%.同时剪切力对d/L较大的BCC晶格材料影响较为显著(图9(a)橙色点线)，当d/L大于0.15时，忽略剪切力作用会低估BCC晶格材料的等效杨氏模量。
对BCC晶格材料的等效剪切模量理论分析中，由于理论模型的简化，仅讨论结点尺寸对其结果的影响。如图9(b)所示，随着BCC晶格材料d/L的增加，结点的影响逐渐增大。当d/L大于0.15时，结点的影响较大。这与图2中所示BCC晶格结点相对体积随d/L的增大而快速增加相吻合。
4.2 FCC晶格材料的归一化等效弹性参数
FCC单元晶格在不同应力状态下的归一化等效弹性参数的理论计算结果与数值模拟结果对比如图10所示。
采用Timoshenko梁模型的理论计算结果(图10(a)黑色实线)与数值模拟结果基本保持一致。随着d/L的增加，忽略弯曲作用的理论模型与数值模拟误差逐渐增大(图10(a)红色划线)，即FCC晶格杆的弯曲变形占比逐渐增加，且当d/L大于0.15时其增加更为显著。故当d/L大于0.15时，不可忽略FCC晶格杆的弯曲变形。此外，剪切力对FCC单元晶格等效杨氏模量的影响极小可忽略不计(图10(a)橙色点划线)，这是由于FCC单元晶格属于拉伸主导型晶格，晶格主要通过各细观杆的拉压来抵抗外载荷和整体变形，同时FCC晶格杆弯曲变形中剪切力弯曲占比较小，故剪切力作用影响较小，可忽略不计。对d/L大于0.1的FCC晶格材料，忽略单元晶格结点的理论计算结果偏小 (图10(a)蓝色点线)，会低估FCC晶格材料的等效杨氏模量，例如当d/L=0.2时，忽略结点的理论结果与数值模拟结果间相对误差较大为27.0%.
对于FCC晶格材料等效剪切模量，由于理论模型的简化仅考虑结点的影响。如图10(b)所示，忽略结点将在一定程度上低估FCC晶格材料的剪切模量，当d/L=0.2时，忽略结点体积的理论结果比有限元结果小12%.
4.3 晶格材料等效弹性参数的比较
BCC与FCC晶格材料泊松比理论模型及数值模型结果基本保持一致(图11(a))，验证了式(7)、(14)理论模型的准确性。图11(b)、(c)表明相同密度的BCC及FCC晶格材料，FCC晶格材料具有更高的归一化杨氏模量，且其归一化杨氏模量-相对密度曲线始终位于BCC曲线上方(图11(b))，即FCC晶格具有更大的比杨氏模量。而相同密度的BCC晶格材料具有更高的归一化剪切模量，即有更大的比剪切模量。
图11 BCC与FCC晶格材料等效弹性参数的比较Fig.11 Comparison of equivalent elastic parameters between BCC and FCC lattice materials
将本文中两种晶格材料的归一化弹性模量与其它常见晶格材料进行了比较，结果表明FCC晶格材料较大多数晶格材料具有更高的比刚度，其归一化弹性模量与相对密度间大体上呈线性关系(图11(d)粉色划线)，且相对密度为5%～10%的FCC晶格材料具有与等相对密度Octet晶格材料基本一致的归一化杨氏模量。
本文对BCC及FCC两种晶格材料的等效弹性参数进行了理论及数值模拟研究，分析比较晶格结点尺寸、剪切力等对晶格材料等效弹性参数的影响。主要结论如下：
1) 采用Timoshenko梁模型的BCC及FCC晶格材料的等效杨氏模量理论模型与数值模拟结果有更好的吻合。
2) 晶格结点对BCC及FCC晶格等效杨氏模量及剪切模量均有较大影响，且随着晶格d/L参数的增大而增大。忽略结点效应会低估晶格材料的线弹性力学性能。
3) 对弯曲主导型BCC晶格材料的等效杨氏模量理论模型，其轴力影响很小可忽略不计。而对于拉伸主导型FCC晶格材料，当d/L大于0.15时，细观杆件的弯曲变形对其等效杨氏模量理论模型结果影响较大，故杆的弯曲不可忽略。
4) 相同密度的FCC晶格比BCC晶格材料具有更高的归一化杨氏模量，BCC晶格则比FCC晶格具有更高的归一化剪切模量。此外，相对密度为5%～10%的FCC晶格材料具有与等相对密度Octet晶格材料基本一致的归一化杨氏模量。FCC晶格材料较大部分晶格材料具有更高的抗压比刚度。
猜你喜欢 杨氏模量晶格结点 三角形光晶格中的量子液滴佛山科学技术学院学报（自然科学版）(2022年5期)2022-10-09Lieb莫尔光子晶格及其光子学特性研究光子学报(2022年6期)2022-07-27杨氏模量微观表征新方法在锂电池中的应用储能科学与技术(2022年3期)2022-03-23LEACH 算法应用于矿井无线通信的路由算法研究电子制作(2022年1期)2022-01-28张云熙作品选当代作家(2021年11期)2021-12-17基于八数码问题的搜索算法的研究电子制作(2021年14期)2021-08-21以氮化鎵/氮化铝镓超晶格结构优化氮化铟镓LED电子制作(2018年12期)2018-08-01拉伸法测金属钢丝杨氏弹性模量优缺点探究科技资讯(2017年2期)2017-03-27剪切波定量超声弹性成像技术对正常双肾弹性测定中国实用医药(2016年2期)2016-01-05基于三点支撑法镁合金刚度特性的实验研究湖南大学学报·自然科学版(2014年7期)2014-11-28
