基于小波去噪的灰色Verhulst模型在变形监测中的应用
时间：2023-01-18 10:15:07 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
董坤烽
（1.云南建投第一勘察设计有限公司，云南 昆明 650031）
目前，相关学者对矿区地表沉降动态预计的研究从不同方面提出多种方法，如构建灰色模型和时间函数模型，或以神经网络、卡尔曼滤波等智能算法构建的开采陷预测模型[1-6]。本文为使预测模型符合矿区地表下沉规律，对小波去噪预处理得到的观测数据建立灰色Verhulst模型来实现。灰色Verhulst模型与灰色GM（1，1）模型类似，但是根据矿区开采地表沉陷规律可知，下沉-时间曲线呈“S”形变化，而由GM(1,1)模型表达式可知预测趋势为指数式变化，不符合矿区地表沉陷规律，因此采用对饱和状态的非线性序列进行较好预测的灰色Verhulst模型。
小波阈值去噪的基本原理就是设置一个阈值处理高频噪声信号，其中大于该阈值的小波系数的有用信号进行收缩和保留；
对小于该阈值的小波系数的噪声进行剔除[2]。对于含噪声的一维信号模型可以表示为：
式中，s(t)为原始信号；
n(t)为方差是σ2的高斯白噪声，服从N(0，σ2)。
小波阈值去噪的基本思想在于：①选定小波基函数对信号f(t)多层分解得到小波系数；
②采取一定的阈值函数处理得到新的小波系数；
③小波重构获得去噪信号。
1.1 小波阈值函数
当信号分解后，需要对小波系数进行阈值处理，常用的阈值函数分为硬阈值函数与软阈值函数。
硬阈值函数的数学表达式为：
由于软硬阈值函数均存在一定程度的不足，因此相关学者构造加权平均阈值函数，既能克服硬阈值函数中不连续问题，也能减少软阈值函数中的恒定偏差[7]。
式中，μ为加权因子，一般为0.5，本文采用固定阈值[8]。
式中，σ为第j层小波变换后的均方差。
1.2 分解层数与去噪效果评价指标
信号的分解层数越多对信噪分离越有利，但是对于信号重构来说，随着分解层数的增加，信号重构的误差也会增加[9]。通常一段长度为M的信号其分解层数n为：
式中，小波阈值去噪效果通过信噪比SNR与均方差RMSE来衡量。
式中，f(i)为原始信号；
为去噪后信号。
一般来说，均方根差越小、信噪比越高，去噪效果越好。
设原始监测数据序列为：
通过对原始数据累加生成1-AGO序列。
与GM(1,1)模型的建模方法相同步骤[10～11]，得到灰色Verhulst模型一阶白化非线性微分模型。
式中，a，b为灰色Verhulst模型待计算参数。
按最小二乘法则解得待求参数估值。
将a，b代入微分方程得到灰色Verhulst模型时间响应序列。
最后还需要还原数列得到模型的预测值。
建立半参数灰色Verhulst模型时也需要进行模型检验，验证所建立的模型是否符合实际情况，灰色模型精度检验如表1所示[12]。
表1 灰色模型精度检验对照表
矿区沉陷变形监测数据来源于某矿区西九采区回采工作面C观测线98号测点，共计14期累计沉降观测数据（表2）。
表2 C观测线98号监测点累计沉降值
3.1 基于小波阈值去噪的数据处理
1）小波基函数与分解层数确定。考虑到矿区观测点沉降数据的变化特点以及小波基函数的数学特性，本文选取能处理离散小波变换且具有正交性和紧支性的SymN小波基。SymN小波基中N的取值对去噪效果有影响。为确定N的取值，首先确保分解层数与阈值函数统一，通过去噪后的信噪比和均方差进行对比，由表3可得出N=4去噪效果最好。
表3 Sym N小波基函数对比
根据分解层数的经验公式，在N=4的前提下进行1～3层分解，对比各层分解后得到的信噪比和均方差，确定本次监测数据选取Sym4小波1层分解。
3.2 阈值函数确定
基于Sym4小波1层分解，分别选取硬阈值、软阈值以及加权平均阈值函数对噪声信号进行处理并进行信号重构，由表4可知，通过3种阈值函数去噪信号的信噪比和均方差对比，加权平均阈值函数处理得到的去噪信号效果最佳。
表4 阈值函数去噪效果对比
从图1也可以看出，基于小波阈值去噪的数据与原始观测数据的变化趋势一致，且经过阈值去噪的预处理，削弱了某些因素造成的误差影响，为建立灰色Verhulst模型提高了精准度与可靠性。
图1 原始数据与去噪数据效果对比
3.3 灰色Verhulst模型建立
根据矿区地表沉降的呈现S型曲线变化特点，将监测数据序列建立预测模型，为验证灰色Verhulst模型的预测精度，以前10期为样本数据建立了表5所示的几种预测模型，预测结果以及残差值如表6所示。
表5 预测模型方案
表6 地表沉降预测模型结果对比表
通过表5对矿区地表沉降的数据的相关计算以及图2的曲线图对比分析可知：
图2 沉降预测模型对比图
1）对于矿区地表变形监测数据的变化特点，由于GM（1，1）模型属于指数式变化，因此前四期数据预测较为准确，但是随着观测次数增加会导致误差逐渐增大，对该数据序列不适用于建立预测模型。
2）观测数据无论是否经过小波阈值去噪处理，灰色Verhulst模型预测模型显示的数据变化趋势与原始观测数据大致相同，说明灰色Verhulst模型适用于该矿区地表沉降监测数据。
3）经计算对比可知，方案2预测模型的误差绝对平均值为55.429 mm，方案4预测模型的误差绝对平均值为48.357 mm，因此经过小波阈值去噪建立灰色Verhulst预测模型精度更高。经过灰色精度检验表验证，模型精度为Ⅰ级。
相对于GM(1,1)模型，灰色Verhulst模型针对矿区地表变化特点建立的预测模型具有明显优势。为了削弱观测噪声的影响，利用小波阈值去噪的方法对观测数据进行预处理能大大提高灰色Verhulst模型的预测精度，提高了其在工程应用中的适用性。本文建立的小波去噪与灰色Verhulst模型组合模型应用于矿区地表沉降监测中具有可行性。但本文仍有不足之处，如阈值门限设定为固定值会造成一定程度的信号损失，不同的样本数据的数目会影响预测精度，有待于进一步研究。
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