一随机COVID-19传染病模型的动力学行为
时间：2023-01-16 21:45:04 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
秦闯亮,杜金姬,陈海波,惠远先
(1.信阳学院数学与统计学院, 河南信阳 464000;2.中南大学数学与统计学院, 湖南长沙 410075;3.黄淮学院数学与统计学院, 河南驻马店 463000)
COVID-19是由致命的急性严重呼吸道综合2型(SARS-CoV-2)病毒[1]引起的传染性疾病,仍在全球范围迅速蔓延.中国政府迅速采取相关防疫措施, 有效地遏制了国内的疫情发展.文[2-3]对疫情的发展、传播等进行了分析和研究.文[4]预测了疾病流行趋势, 并评估了几种干预策略在中国内地的效果.文[5]借助于数学模型评估了隔离和接触追踪在未普遍传播地区控制疾病爆发的能力.李悦等[6]建立了SEIR模型对COVID-19的传播进行了预测.朱翌民等[7]考虑隔离措施, 建立了SEIQR传染病模型, 依据流行疾病传播的相关理论和COVID-19的传播特点, 将t 时刻的人群划分为: 易感人群S、潜伏期感染人群E、已感且具高度传染性的感染人群I、感染且与外界隔离的患者Q、经过治疗康复人群R, 并对模型进行了分析.实际上, 疾病的传播还受到随机因素的影响.本文考虑随机因素的影响, 建立随机SEIQR模型
其中N = S +E +I +Q+R, Λ是人口输入, r是易感者接触到的人数期望, β1是传染期感染者的传染率, β2是潜伏期感染者的传染率, µ是自然死亡率, l是潜伏期感染者成为传染期感染者的概率, φ是传染期感染者被确诊隔离的比例, δ是传染期感染者的死亡率, ν是传染期感染者成为康复者的比例, γ是被隔离的确诊患者成为康复者的比例, θ是被隔离人群的死亡率,Bi(i=1,2,3,4,5)表示相互独立的标准Brownian运动, σi(i=1,2,3,4,5)表示白噪声强度.
基于文[8-10], 本节主要讨论模型(1.1)的全局正解的存在唯一性.
定理2.1当t ≥0时, 对任意初值(S(0),E(0),I(0),Q(0),R(0)) ∈模型(1.1)存在唯一正解(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t))∈几乎处处成立,即对t ≥0,(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t))以概率1落在中.
证因(1.1)的系数满足局部Lipschitz条件,故对任给定初值(S(0),E(0),I(0),Q(0),R(0))∈模型(1.1)在t ∈[0,τe)上存在唯一的局部解, 这里τe表示爆炸时刻.若要证明解的全局性,仅需证明τe=+∞a.s.设inf ϕ=+∞(其中ϕ为空集), 定义停时
本节讨论模型(1.1)疾病的灭绝性.
(3.2)式两端从0到t积分, 并除以t, 得
由局部鞅的强大数定理[8], 可得
由(3.3), (3.4)可得
(3.5)式积分, 并除以t得
由强大数定理得
本节基于Khasminskii理论和Lyapunov函数法研究模型(1.1)的遍历平稳分布存在性, 首先给出引理.
成立, 则模型(1.1)存在唯一的遍历平稳分布π(·).
证系统(1.1)的扩散矩阵A为
显然扩散矩阵A是正定的, 满足引理4.1的条件(i).
下面证明引理4.1的条件(ii)成立, 为此, 定义正定函数H(S,E,I,Q,R):
取M >0和ρ满足
其中ε>0为充分小的常数, 且满足下列条件:
下面我们证明LV 恒负.
情形1 若(S,E,I,Q,R)∈D1, 由(4.6)和(4.7)式得
情形2 若(S,E,I,Q,R)∈D2, 由(4.6)和(4.8)式得
情形3 若(S,E,I,Q,R)∈D3, 由(4.6)、(4.9)和(4.10)式得
情形4 若(S,E,I,Q,R)∈D4, 由(4.6)和(4.11)式得
情形5 若(S,E,I,Q,R)∈D5, 由(4.6)和(4.12)式得
情形6 若(S,E,I,Q,R)∈D6, 由(4.6)和(4.13)式得
情形7 若(S,E,I,Q,R)∈D7, 由(4.6)和(4.14)式得
情形8 若(S,E,I,Q,R)∈D8, 由(4.6)和(4.15)式得
情形9 若(S,E,I,Q,R)∈D9, 由(4.6)和(4.16)式得
情形10 若(S,E,I,Q,R)∈D10, 由(4.6)和(4.14)式得
综上所述, 存在充分小的ε > 0, 对任意(S,E,I,Q,R) ∈D有LV < −1, 由引理4.1可知, 模型(1.1)存在唯一的遍历平稳分布.证毕.
本节通过实验进行数值模拟, 验证理论的正确性.利用Milstein方法[12]离散随机模型(1.1)得
其中ξ1k,ξ2k,ξ3k,ξ4k和ξ5k(k = 1,2,··· ,n)是独立高斯标准正态分布, σi(i = 1,2,3,4,5)是白噪声的强度.根据文[1, 4]取参数Λ = 5, µ = 0.00712, r = 2, β1= 0.0792, β2= 0.046134,l = 0.125, φ = 0.128, ν = 0.007, δ = 0.00027, γ = 0.014, θ = 0.00027.初始值S(0) = 50,E(0)=25, I(0)=20, Q(0)=20, R(0)=10.在数值模拟中, 取n=200000, 步长∆t=0.01.
图5.1中我们取σ1= 0.2,σ2= 0.66,σ3= 0.66,σ4= 0.3,σ5= 0.2, 则0.9861 < 1满足定理3.1的条件, 由定理的结论可知疾病将灭绝.图5.1说明了结论的成立性.
图5.1 受感染个体灭绝的时间时序图
图5.2中取σ1=0.02,σ2=0.04,σ3=0.04,σ4=0.03,σ5=0.02,计算得=1.68708055>1, 满足定理4.1的条件, 从而模型(1.1)存在唯一的遍历平稳分布.图5.2说明了定理结果的正确性.
图5.2 模型(1.1)的解S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t)及其密度函数图
本文结合流行病学知识和COVID-19传播特点, 考虑隔离措施下随机因素对疾病的影响,建立了随机COVID-19传染病模型, 并分析了该随机模型的动力学行为.结果表明国家通过采取强有力的管控措施, 接种疫苗, 居家隔离, 限制出行, 必要出行佩戴口罩等防护措施, 加强感染患者集中隔离治疗, 切断疾病传染途径, 减少人员接触, 同时, 加强医疗科学研究, 提高医疗救治等措施, 在一定程度上有利于对疾病传播的控制、减缓疫情的传播.
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