齿面粗糙度参数与接触应力的敏感性分析研究

陈季凌, 唐进元, 杨铎

(1.中南大学 机电工程学院, 湖南 长沙 410083; 2.中南大学 高性能复杂制造国家重点实验室, 湖南 长沙 410083)

齿轮加工表面在微观尺度上都是凹凸不平的表面,在传动时齿面的微观表面形貌特征直接影响着承载能力和磨损、疲劳等性能[1-2]。关于机械加工表面形貌特征的表征方面,三维粗糙度参数因其能更真实、准确地反映一定面积区域上的表面形貌特征,弥补了二维表面参数统计性差、信息片面性等不足,而受到重视,逐渐成为研究热点[3]。众多研究者基于三维粗糙度参数与加工面各项服役性能间关联规律开展了大量研究[3-12]。何宝凤等[3]认为参数Vmp值较大代表较好的承载能力,Vvv值较大代表较好的润滑能力,参数Sa与参数Sq存在最强相关性。王金明等[4]从参数Sa定义深入探讨,基于此建立了复合材料切削表面的测试方法,为评估其表面质量提供基础。Stout等[5]利用参数Sa,Sq,Ssk,Sku探讨轧制钢板表面的织构转移特性,并确定了转移的程度。Bulaha[6]借助参数Sa,Str,Ssk,Smr1和Smr2评估了确定圆柱磨面的耐磨性。李伯奎等[7]通过实验得出参数Ssk,Sku与不同加工面的摩擦磨损性能有重要的对应关系。Oskars等[8]首次在磨损估计公式中使用了Sa,Str等三维粗糙度参数。Civcisa等[9]利用三维粗糙度高度参数分析了不同材料表面的使用性能。赵仕宇等[10]利用功率谱和三维粗糙度参数Sq,Ssk,Sku,Sz和Str分析了影响成形件表面质量的相关因素。王栋等[11]通过实验得出试样疲劳寿命次数与三维粗糙度参数Sa,Sq,Sz,Ssk,Sku均有明显的相关性。Franco等[12]指出参数Vmp,Vvv为磨损分析提供了重要信息。以上研究表明,使用三维粗糙度参数可以评估加工面的各项服役性能。

然而三维粗糙度参数众多,从众多参数中筛选出少部分代表性参数用于表征表面特定服役性能是一个难题。为剔除不必要的自变量,研究者常依据统计学线性相关分析理论剔除相关系数小于阈值的变量,从而实现自变量的初步筛选[13-14]。考虑到三维粗糙度参数与齿面接触性能间可能存在非线性映射关系,采用遗传算法优化的BP神经网络(GA-BP)构建初步筛选的粗糙度参数与接触性能参数预测模型。同时,为进一步对参数进行筛选,基于神经网络模型,借助全局敏感性分析方法[15-17],剔除掉敏感系数小的参数,筛选出对齿面接触性能影响最大的三维粗糙度参数。

本文基于超声磨削加工表面形貌实测数据,以相关分析理论与全局敏感性分析方法为基础,借助神经网络构建三维粗糙度参数与轮齿接触最大剪应力、表面最大压力的非线性映射模型,探究三维粗糙度参数与齿面接触性能参数间的关联规律。同时对冗余的三维粗糙度参数进行降维,旨在寻找最为关键的少部分参数控制齿轮表面质量,并分析其影响齿面接触性能的参数重要性,为齿面抗疲劳设计制造提供理论基础。

本研究所依据的数据来源于实测超声磨削表面,针对实测表面展开接触性能参数与三维粗糙度参数的计算。

1.1 粗糙表面数据获取与接触应力计算

对齿轮材料12CrNi4A(9 mm×9 mm×16 mm)进行超声振动平面磨削,采用半径为100 mm宽度为20 mm的CBN砂轮(120目)进行加工。加工条件为：砂轮转速1 500 r/min,切削速度200 mm/min,切削深度5～25 μm,冷却液120 L/min(Castrol Syntilo 2000)。超声振动采用横向进给方式,频率为20 kHz,振幅为0～10 μm。

使用白光干涉仪Wyko NT9100对磨削工件表面形貌进行测量,获得工件表面微观形貌的高度矩阵数据Z(x,y)(共228组)。所使用的白光干涉仪采集工件表面形貌的放大倍率为5倍,仪器镜头的整个采集过程始终垂直于工件表面。基于Wen等[18]提出的三维粗糙表面微凸体建模与接触分析方法,并借助弹性半空间理论和接触力学理论求解在齿面压力和剪切力作用下产生的次表面应力场,计算出最大剪应力(τ)与表面最大压力(MP),其中应力单位为MPa。

1.2 三维粗糙度参数选用与计算

依据ISO25178中规定的三维粗糙度参数,对超声磨削试验采集表面微观形貌数据进行计算。基于相关文献[3-12]初步筛选出对加工表面接触性能影响较大的表征参数作为目标参数,包括算术平均高度(Sa)、最大峰高和最大谷深的和(Sz)、偏斜度(Ssk)、峰态(Sku)、谷部的空隙容积(Vvv)、峰部的实体体积(Vmp)、纹理特征比(Str)、分离突出峰部与中心部的负载面积率(Smr1)、分离突出谷部与中心部的负载面积率(Smr2)共9个三维粗糙度参数。其中除Smr1,Smr2外的三维粗糙度参数的数学表达式如表1所示,关于Smr1,Smr2的计算方法如图1所示。

表1 三维粗糙度参数的数学表达式

图1 取样区域的Abbott曲线图

本研究采用统计学相关分析理论初步对三维粗糙度参数进行初步筛选,借助BP神经网络搭建三维粗糙度参数与接触性能参数的预测模型。基于预测模型,应用全局敏感性分析方法计算出各个三维粗糙度参数的敏感度并进一步筛选参数。

2.1 相关分析

相关分析常用于研究2个或2个以上不同变量间的种种相关特性和紧密程度[13]。对数据展开相关分析首先须通过显著性检验,若显著性p值小于0.05,即可认为此差异具有统计学意义[19],即对结果真实程度的一种估计方式,p值越小,表明结果越显著。其次划分相关程度,皮尔逊相关系数(Pearson correlation coefficient)因其能从线性相关角度定量描述两变量间的相关趋势,故常用作判别指标。因本文所使用的数据均为连续变量,此处运用皮尔逊相关系数分别探究三维粗糙度参数与接触性能参数的关联程度。计算公式为

(1)

式中,ri,j是变量i,j间的皮尔逊相关系数,分子为两变量间的协方差,分母为各变量的方差。表2中所列出的皮尔逊相关系数r值范围,常用于衡量两变量间的相关程度。

表2 相关程度判定表

2.2 GA-BP网络预测模型

本文借助相关分析去除掉弱相关程度的三维粗糙度参数,剩余的参数与齿面接触性能参数既包含线性关系又包含非线性关系,且在利用全局敏感性分析前需要建立一个稳定的映射模型,故采用BP神经网络拟合模型。传统的BP神经网络存在一些缺陷:缺少对冗余参数(输入参数)的有效筛选、易产生过拟合、易陷入局部最优解[20]等。

遗传算法(genetic algorithm)是一种用于解决最佳化的搜索算法,它具备全局寻优的能力,用于更新BP神经网络的初始权值。GA算法包括:种群初始化、适应度函数、选择操作、交叉操作、变异操作[21]。

种群个体的初始化是对初始值进行编码,一般采用实数编码,编码包括网络的权值与阈值。据BP神经网络的误差计算得到,如(2)式所示

(2)

式中：c为常数；
R为神经网络中的节点数；
Ki为神经网络的输出数；
Li为期望数值。

选择操作、交叉操作和变异操作是为了在神经网络中产生新的权值与阈值,满足适应度值的要求即将新的权值与阈值赋予BP网络,进而使得网络具有全局寻优的功能。遗传算法弥补了BP神经网络易陷入局部最优的不足,提高了神经网络的准确性与稳定性,但由于输入的三维粗糙度参数的冗余将导致预测结果不稳定,因此本文提出一种结合统计学相关分析与全局敏感性分析的筛选方法,并基于GA-BP神经网络对接触性能参数进行预测。

2.3 全局敏感性分析方法

本文使用了2种被广泛应用的全局敏感性分析方法:Morris[15]方法和Sobol′[16]方法。Morris方法可以基于少量样本定性确认相对重要参数,而Sobol′方法可基于较多样本对参数做定量敏感性分析。通过对比2种方法的敏感性分析结果,为三维粗糙度参数筛选提供合理依据。

2.3.1 Morris方法

为了能在全局范围内研究模型参数的敏感性,Morris在1991年提出了Morris方法。该方法每次仅改变一个参数的取值,依次计算得出各个参数“基本影响”,进而得到模型中输入参数对输出结果的影响,以较小的计算代价得出参数全局灵敏度的比较及参数相关性和非线性的定性描述[16]。

设系统模型为y=f(x1,x2,…,xm),m表示参数的维度,依据Morris的抽样准则,将各参数值映射至[0,1]区域内,使各参数从集合M={0,1/(k-1),2/(k-1),…,1}内取值,其中k为各参数的水平数,每个参数从M中随机取值获得第一个样本点X0=(x1,x2,…,xm),对X0的任意一个参数xi增加扰动s即可得到样本点X1=(x1,…,xi+s,…,xm),其中s为1/(k-1)的整数倍,样本点X2基于X1对非xi参数增加扰动,以此类推直至遍历所有参数,得到一组样本点集{X0,X1,…,XM}。由相邻2组的样本点即可计算出各参数对输出结果的作用值,第q个参数的作用值可用公式(3)计算

(3)

式中，Xq=(x1,…,xq+s,…,xm),Xq-1=(x1,…,xq,…,xm)。

一组样本集仅代表对模型的局部敏感性分析,将获得样本点集的过程重复n次,即可代表整个样本空间,假定某个参数xi服从分布N,即可计算得到均值μi,其中μi值用于衡量对系统输出值的影响,μi值越大,影响程度越大,反之则小,进而可确定xi的全局敏感性。

2.3.2 Sobol′方法

Sobol′方法是一种基于方差分解的敏感性分析方法,它可以有效解出高度非线性模型中参数间相互作用产生的灵敏度,计算结果稳定可靠。

假定模型为Y=F(x)=f(x1,x2,…,xM),且f(x)的平方可积,其中M为参数维度,可把模型分解成如下形式

(4)

式中，F0为常数项,i=1,2,…,n,若xi～U(0,1),其中U为均匀分布,则模型F(x)方差分解形式唯一,其分解结果如下

(5)

式中：V表示总方差,Vi与Vij分别表示单双因子方差,以此类推,V1,2,…,n为n个因子方差。化简后得到

(6)

式中：Si=Vi/V,反映xi为一阶主效应的敏感度；
Sij反映xi与xj中二阶交互效应的敏感度,以此类推。将包含xi的敏感度累加,即可得到xi的总效应敏感度Sxi。

3.1 技术路线

为合理地筛选出与齿面接触性能参数间敏感性较大的三维粗糙度参数,制定图2所示的技术路线。

图2 关联规律探究技术路线图

1) 依据相关分析理论,从统计学角度对三维粗糙度参数与接触性能参数进行显著性检验并计算对应的相关系数,利用皮尔逊相关系数阈值初步筛选参数并对筛选结果进行参数重要性排序。

2) 为减少模型复杂度,利用GA-BP模型(遗传算法优化的BP神经网络)分别构建三维粗糙度参数与最大剪应力(τ)、表面最大压力(MP)间的预测模型。

3) 基于GA-BP神经网络模型,分别应用Morris方法与Sobol′方法对参与拟合模型的三维粗糙度参数进行全局敏感性分析,对比2种方法的分析结果,从定性、定量分析角度对三维粗糙度参数进一步筛选。

4) 将筛选后的参数重新放入GA-BP模型中,再次利用2种全局敏感性分析方法对参数重要性进行排序,将排序结果与步骤3)结果进行比较,并将对比结果与相关分析排序结果进行交叉验证,得到最终的三维粗糙度参数重要性排序结果。

5) 为探讨上述参数筛选过程的有效性,将参数筛选前后的神经网络模型进行对比,验证其有效性。

3.2 相关分析结果

三维粗糙度参数与齿面接触性能参数的相关分析结果如图3所示。根据表2的相关程度划分选取相关程度大于0.3且接近0.3的中等及以上相关程度的三维粗糙度参数,其中筛选出的参数均通过显著性检验。

图3 三维粗糙度参数与接触性能参数间的相关分析

从图3可以看出,与轮齿接触最大剪应力、表面最大压力呈现中等相关程度及以上的粗糙度参数依次为:Sz,Sa,Vvv,Vmp,按照相关程度由大到小排序依次为:Sa,Vmp,Vvv,Sz。这4个参数对最大剪应力与表面最大压力均起到正向促进作用,其中Sa均达到强相关程度。

通过显著性p值检验与统计学相关分析筛选出:Sa(算术平均高度),Sz(取样区域中最大峰高和最大谷深的和)，Vmp(峰部的实体体积)，Vvv(谷部的空隙容积)作为模型原始输入变量。为简化模型,将τ(最大剪应力)与MP(表面最大压力)依次作为GA-BP网络的输出变量。利用Matlab搭建神经网络模型,从228组超声磨削加工表面实测数据中随机抽样228×0.8≈182组数据用于训练神经网络模型,GA-BP模型自动将其按照3∶1∶1的比例划分为训练集、验证集与测试集，剩余46组数据作为测试集。基于训练后的映射模型对输入变量的参数重要性进行全局敏感性分析。

3.3 全局敏感性分析结果

对参数进行敏感性分析的主要研究工具为软件包SALib,SALib是由Python编写并用于执行敏感性分析的开源库,其中包括了本研究所涉及的全局敏感性分析方法。

由于输入样本的不均匀性,直接基于实测样本进行全局敏感性分析可能会导致分析结果出现误差,故将神经网络训练后的映射模型提取出来,基于映射模型生成均匀样本并进行全局敏感性分析。根据文献[15],Morris方法所需样本量为n+1的整数倍,其中n为参数的个数,为探索得到合理结果的最佳样本量,分别设置样本量为10,30和50。同时,为验证Morris定性分析结果的可靠性,本研究采用Sobol′敏感性分析方法,生成1 000个样本对4个粗糙度参数做定量分析。对三维粗糙度参数重要性的定性、定量结果分析如图4所示,其中均值μ与总效应敏感度S越大,表明它对接触性能参数的影响越大。

基于BP模型,由软件包SALib运用Morris法与Sobol′法分别计算得到各参数的均值与总效应敏感度S,得到图4结果。由图4的定性定量分析结果可以直观得到,在预测最大剪应力与表面最大压力的神经网络模型中,参数Vvv,Sz的2种敏感性分析结果均远低于其他参数值。由此得到最终的参数筛选结果:参数Sa,Vmp作为预测轮齿接触最大剪应力、表面最大压力的输入变量,参数Vvv,Sz剔除。

图4 全局敏感性分析结果一

为合理评估粗糙度参数重要性排序结果,保留神经网络的拓扑结构,仅变动模型的输入输出参数,将剔除变量后的三维粗糙度参数(Sa,Vmp)作为神经网络的输入变量,基于实测样本重新训练网络,并将训练好的神经网络映射模型再次提取出来,重新生成均匀样本并进行全局敏感性分析。为与参数筛选前的样本量选用方法保持一致,分别设置Morris法的样本量为6,18和30,Sobol′法的样本量为1 000。全局敏感性分析结果如图5所示,神经网络训练的迭代过程如图6所示。

对比图5与图4结果,可见剔除参数后的三维粗糙度参数敏感性分析排序结果与剔除前排序一致;对比图5与图3结果,2种敏感性分析结果与相关分析结果排序仍然保持一致。2种对比结果最终得出一致结论,即通过统计学相关分析与全局敏感性分析的参数筛选后,影响轮齿接触最大剪应力、表面最大压力的三维粗糙度参数重要性排序均为:Sa>Vmp。对Sa,Vmp进行相关分析,二者的皮尔逊相关系数为0.653,为中等相关强度。虽然两参数存在一定的相关性,依据相关文献[4-6,8-11]可以看出Sa的重要地位及其广泛性的应用。此外,文献[12]提出参数Vmp为磨损分析提供了重要信息,文献[3]提出Vmp值较大代表较好的承载能力。由此可以得出筛选结果与各文献中的结果相对应,故保留参数Sa,Vmp。

图5 全局敏感性分析结果二

图6 3种不同网络的综合表现

上述研究利用统计学相关分析理论与全局敏感性分析方法对三维粗糙度进行降维且得出,算术平均高度(Sa)、峰部的实体体积(Vmp)作为预测轮齿接触最大剪应力(τ)、表面最大压力(MP)的关键参数。然而参数降维后GA-BP神经网络的稳定性是否可靠,需对其进一步验证。

4.1 稳定性分析

为深入探讨相关分析与全局敏感性分析筛选参数前后对模型稳定性的影响,不更改神经网络的隐含层层数、隐含层神经元个数以及网络训练学习率等相关参数,仅变动神经网络的输入参数,基于上述参数筛选过程展开对比分析。即对未筛选参数的GA-BP模型、相关分析筛选参数后的GA-BP模型(P-GA-BP)、相关分析与全局敏感性分析筛选参数后的GA-BP模型(P-Morris/Sobol′-GA-BP)进行训练,图6为各模型的训练迭代过程。

根据预测数据,计算均方误差(MSE)与平均绝对百分比误差(MAPE)可以评价数据的变化程度,MSE值越小,说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度,MAPE值越小,模型误差越小。均方误差与平均绝对百分误差的计算如(7)～(8)式所示。

式中:M为数据数量;ym′为第m个数据的预测值;ym为第m个数据的真实值。

(7)～(8)式计算的对比结果如表3所示,可以看出P-Morris/Sobol′-GA-BP模型的EMS与EMAP值略低于GA-BP神经网络,可见前者模型稳定性略高于后者,也从侧面进一步证实了参数筛选的有效性。

表3 测试集均方误差与平均绝对百分误差对照表

4.2 结果分析

由表3与图6可直观看出,对比未进行参数筛选的预测模型,利用相关分析与全局敏感性分析对三维粗糙度参数进行筛选的预测结果(EMS、EMAP)相对偏小,且在BP网络迭代过程中不易出现过拟合。这是因为未进行参数筛选的BP模型输入变量过多,造成了输入变量的冗余,致使网络不稳定。而经参数筛选后缩减了无关变量的输入,提高了网络预测的稳定性,进而减小预测误差。

本文基于实测超声磨削微观表面数据,探究三维粗糙度参数影响齿面接触性能参数的主次关系,并对其进行降维,得到了以下结论:

1) 皮尔逊显著性检验与相关分析结果表明:与轮齿接触最大剪应力(τ)、表面最大压力(MP)呈现中等相关及以上的三维粗糙度参数按照相关程度大小排序依次为:Sa,Vmp,Vvv,Sz,均起到正向促进作用。其中参数Sa与接触性能参数的相关系数最大,达到强相关程度。

2) 利用Morris和Sobol′方法对三维粗糙度参数敏感性进行定性与定量分析并得到一致结果,影响轮齿接触最大剪应力、表面最大压力的参数重要性从大到小依次排序为Sa,Vmp。故在实际工程中评判齿面接触性能参数时,更要关注Sa,Vmp这2个参数。

3) 稳定性分析结果表明,基于相关分析与全局敏感度分析筛选参数后训练的GA-BP模型在稳定性上略高于未筛选参数训练的GA-BP模型,实现了三维粗糙度参数降维,也进一步验证了参数筛选的有效性。

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